第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
第十章 曲线积分与曲面积分答案
一、选择题 1．曲线积分
x??f(x)?e?L??sinydx?f(x)cosydy与路径无关，其中f(x)有一阶连续偏导数，
且f(0)?0，则f(x)?（ ） (B) (2分，难度：三级)
(A).
1?xx11(e?e) (B). (ex?e?x) (C). (ex?e?x) (D).0 2222．闭曲线C为x?y?1的正向，则
?ydx?xdy?（ ） (C) (2分，难度：二级) ??x?yC (A).0 (B).2 (C).4 (D).6 3．闭曲线C为4x2?y2?1的正向，则
?ydx?xdy? ( ) D (2分，难度：二级) 22??4x?yC(A).?2? (B). 2? (C).0 (D). 4．?为YOZ平面上y2?z2?1，则级)
(A).0 (B). 5．设C:x2?y2?a2，则
2?
??(x?2?y2?z2)ds?（ ） (D) (2分，难度：二
? (C). ? (D). ?
22(x?y)ds? （ ）(C) (2分，难度：一级) ??C1412(A).2?a (B). ?a (C). 2?a (D). 4?a 6. 设?为球面x?y?z?1，则曲面积分
222233??1??dSx?y?z222的值为（ ） (B)
(2分，难度：一级)
(A).4? (B).2? (C).? (D).?
7. 设L是从O(0,0)到(B)(1,1)的直线段，则曲线积分
12?Lyds?（ ）(C)
(2分，难度：一级)
(A). 8. 设I=?L1122 (B). ? (C). (D). ? 2222yds 其中L是抛物线y?x2上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,
则I=（ ）(D) (2分，难度：一级)
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(A).
555555?155?1 (B). (C). (D). 6126129. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 ?，那么
? 是（ ）(D)
(2分，难度：一级)
11xdx?ydyydy?xdx； ； (B). 2?l2?l11 (C). ?ydx?xdy； (D). ?xdy?ydx。
2l2l (A).
10．设S:x2?y2?z2?R2(z?0)，S1为S在第一卦限中部分，则有（ ）(C)
(2分，难度：一级)
(A).(C).
??xds?4??xds (B).??yds?4??yds
SS1SS1??zds?4??zds (D).??xyzds?4??xyzds
SS1SS111．设?为曲面z?2?(x2?y2)在xoy平面的上方部分，则??ds=（ ） (D)
? (2分，难度：二级)
(A).
?2?0d??r021?4rrdr (B).
202?2?0d??201?4r2rdr
2(C).
?2?0d???2?r?1?4rrdr (D).
2?2?0d??01?4r2rdr
?上的曲线积分有关系（ ）(B) (2分，难度：一级) 12. 曲线弧?AB上的曲线积分和BA
(A).
?ABf(x,y)ds???f(x,y)ds (B).
BA?ABf(x,y)ds??BAf(x,y)ds
(C).
?ABf(x,y)ds??f(?x,y)ds?0 (D).
BA?ABf(x,y)ds??f(?x,?y)ds
BA?13．设?为曲面z?2?(x2?y2)在xoy平面的上方部分，则??zds=（ ）(D)
(2分，难度：二级)
2(A).
?2?0d??2?r202(2?r2)1?4r2rdr (B).
2?2?0d??(2?r2)1?4r2rdr
0(C).
?2?0d??0?2?r?rdr (D). ?2?0d??(2?r2)1?4r2rdr
02x2y214．设C表示椭圆2?2?1,其方向为逆时针方向，则曲线积分?(x?y2)dx=（ ）?abL(B)
(2分，难度：二级)
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22(A).?ab (B). 0 (C). a?b (D). ??ab
???x?cost,15．设C的曲线方程为?0?t?,则?x2ydy?y2xdx=（ ）(C)
2c??y?sint, (2分，难度：一级)
?(A).
?20(costsint?sintcost)dt
??dtdt(B). ?2costsint? ??2sintcost?002sint2cost1?(C)．?2dt
20?(D)．
?20(cos2t?sin2t)dt
则I?16．设?为球面x2?y2+z2=R2下半球面的下侧，??zdxdy=（ ）(B)
? (2分，难度：二级)
(A).??2?0d??R0RR2?r2dr (B). R2?r2rdr (D).
??2?02?d??d??R0RR2?r2rdr R2?r2dr
(C). ??2?0d??00017．设f有连续的一阶导数，则?(1,2)(0,0)f(x?y)dx?f(x?y)dy? （ ）(B)
(2分，难度：三级)
3(A).2?10f(x)dx (B).
?0f(x)dx
(C). f(3)?f(0) (D). 0
18．设C为正方形|x|?|y|?a(a?0)的边界，则曲线积分??xyds=（ ）(A)
C (2分，难度：二级)
(A).0 (B). 42?21?1?1??1?1?1a?? (C)．4?a?? (D)．42?a??
3?3?3??2?2?2219．设L是圆域D：x?y?-2x的正向周界，则
??L(x3?y)dx?(x?y3)dy=（ ）(D)
(2分，难度：二级)
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(A). ?2? (B). 0 (C)．20．设L为x?x0,0?y?3? (D)．2? 232,则
?4dsL的值( ). (B)
(2分，难度：一级)
(A). 4x0 (B). 6 (C). 6x0 (D). 4 21.设L为直线y?y0上从点A(0,y0)到点B(3,y0)的有向直线段,则
?2dyL=(
(2分，难度：一级)
(A). 6 (B). 6y0 (C). 0 (D).-6y0 22. 若L是上半椭圆??x?acost,取顺
?y?bsint,,则
?Lydx?xdy的
( ).
(C)
(2分，难度：二级)
(A).0 (B).
?ab 2在
(C).?ab (D).??ab
23、设P(x,y),Q(x,y)D内有一阶连续偏导数,则在D内与?Pdx?QdyL路径无关的条件
?Q?P?,(x,y)?D是( ).(C) (2分，难度：一级) ?x?y (A).充分条件 (B).必要条件 (C).充要条件 (D).充分非必要条件 24、设?为球面x?y?z?1取外侧,?1为其
222,则( )式正确. (B)
(2分，难度：一级) (A).
??zds?2??zds??1??1 (B).
??zdxdy?2??zdxdy??133zds?2z????ds ??12
(C). 25、若?22zdxdy?2z????dxdy.
为球
x2?y2?z2?R2的
,则
??x?y2zdxdy等于( ). (B)
(2分，难度：一级)
(A).
Dxy2222222222xyR?x?ydxdyxyR?x?ydxdy (B). 2????Dxy (C). 0 (D). ?2
Dxy22222xyR?x?ydxdy ??- 4 -
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226、曲面积分
2??zdxdy?在数( ). (C) (2分，难度：一级)
?(A).向量zi穿过?(C).向量zk穿
2?的流 (B).面密度为z22的
?的质量 ?的
??的流量 (D). 向量zj穿
27、设?是
x2?y2?z2?R2的外侧,Dxy是xoy面的圆域x2?y2?R2,下述等式
正确的是( ). (C) (2分，难度：二级) (A)
2222222??xyzds???xyR?x?ydxdy (B)?Dxy2222(x?y)dxdy?(x?y)dxdy ?????Dxy (C)
222zdxdy?2R?x?ydxdy (D)??zdxdy?0 ?????Dxy?28、若?是空间区域?的外表面,下述计算中运用奥-高公式正确的是( ). (B)
(2分，难度：一级) (A).
?外侧???x2dydz?(z?2y)dxdy =???(2x?2)dxdydz；
?3 (B).
?外侧???(x?yz)dydz?2x2ydzdx?zdxdy=???(x2?1)dxdydz；
? (C).
?内侧???x2dydz?(z?2y)dzdx=???(2x?1)dxdydz?2.
(D).
?内侧???xdzdx?(z?2y)dxdy=???(2x?1)dxdydz?.
29．设?是曲面z?x2?y2与平面z?1,z?2所围空间立体的表面取外侧， 则
???ez?x?y22dxdy=（ ）(B) (2分，难度：三级)
2222 (A). 2?(e?e) (B).2?e (C).?2?e (D). 4?e
30．设L是上半圆y?Rx?x2上从点A(R,0)到O(0,0)的弧段(R?0)，且曲线积分（下式中k为常数）
?L(exsiny?ky)dx?(excosy?k)dy=（ ）(C)
(2分，难度：三级)
k?R2k?R2k?R2k?R2 (A). (B). (C). (D).
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