第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
侧，设所围区域为?，显然在?2和?3的曲面积分为0。 …………………3’ 则由高斯公式有
I????1??2??3??xdydz?ydzdx?zdxdy???xdydz?ydzdx?zdxdy
?1?3???dv???zdxdy……………………………….…4’
?1?1?3?36．计算????z044848axdydz?(z?a)2dxdydz???3??????。 …………………7’
x2?y2?z2222，其中?为下半球面z??a?x?y的下侧，a为大
于零的常数。
（7分，难度：二级）
解：取?xoy为xoy面上的圆盘x2?y2?a2，方向取上侧，则
???axdydz?(z?a)2dxdyx2?y2?z2?1axdydz?(z?a)2dxdy ??a??1?22????axdydz?(z?a)dxdy???axdydz?(z?a)dxdy?， ……….3’ a????xoy??xoy???1?2?????(2z?3a)dv?a??dxdy? a???Dxy???2???a1?2???2?d??d??rcos?r2sin?d??3a?a3?a2?a2? a0?30??2????a?11??1??a434???4??cos?sin?d??rdr??a??????a4???a3。 ………7’
aa?2?0?2???2?37、求
?(eLxsiny?y?x)dx?(excosy?y)dy，其中L为圆周y?2ax?x2上从A(2a,0)到点O(0,0)的一段弧. （5分，难度：二级） 解：添加直线段L1:OA，则 原式?(?L?L1??2a0L1)(exsiny?y?x)dx?(excosy?y)dy …………….2’
=??dxdy-?xdx。（2分） …………….4’
D=π2a-2a2 …………….5’ 2- 26 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
22?x?y?2?38．已知空间曲线?：?，计算曲线积分??e22??z?x?yx2?y2ds．
（5分，难度：二级）
?x?2cos???解：?的参数方程?y?2sin?,0???2? ………………. 2’
???z?2则原式＝e??x2?y2ds??e02?2x?2?y?2?z?2d? …….4’
??e02?22d?=22e2? …….5’
39．计算I???[?f(x,y,?z)x]d?ydz[2(f,x?,y)z?]ydzd[x(?f,x,其y中zzdxdyf(x,y,为z)连续函数，?是平面x?y?z?1在第四卦限部分的上侧.
（6分，难度：二级）
解： 将积分转为第一类曲面积分 I????{[f(x,y,z)?x]1?11?[2f(x,y,z)?y]?[f(x,y,z)?z]}dS ……………. 2’ 333z1=1(x?y?z)dS ???3?11dS ? 1 O= y …………. 4’ ???311S?= x= …………. 6’
23 40. 计算
1???(x3?yz)dydz其中∑为圆柱面x2+y2=R2在0≤z≤H中的一段曲面的外侧，R和H
都是正数。 （7分，难度：二级） 解：∑的方程：x?R2?y2∑在yoz面上的投影域为(D)：－R≤y≤R,0≤z≤H.
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第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
由对称性，则
???yzdydz?0, …………….2’
???xdydz?2??D(R?y)dydz?4?0(R?y)dy??0dz …………….4’ ?34244?4HR?0costdt??RH4334所以：??(x?yz)dydz??RH ……………5’
?441．设f(u)具有连续导函数，?为x?0的锥面y2?z2?x2?0与球面x2?y2?z2?1，
32232R2232Hx2?y2?z2?4所围立体表面的外侧，计算曲面积分
1y1y333I??xdydz?[f()?y]dzdx?[f()?z]dxdy ???zzyz（7分，难度：二级）
解：令P?x，Q?31y1yf()?y3,R?f()?z3 zzyz?P?R1y?Q1'y?3x2，??2f'()?3z2 …………. 3’ ?2f()?3y2，?x?zzz?yzz I????(??P?Q?R??)dv ?x?y?z=3=3222(x?y?z)dv …………. 4’ ????2??0?0d??4sin?d??r4dr …………. 5’
12=
93(2?2)? …………. ……….7’ 542. 计算(esiny?ydx)?e(L?xxcosy?x3dy)，其中L是从A(1,0)沿x?y?1(x?0)到
2323B(0,1)．
（6分，难度：二级）
解：补充直线段BO，OA …………. 1’
x?(eLsiny?y)dx?(excosy?3x)dy
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第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
??L?BO?OA??10OB??OA …………. 2’ …………. 4’
???4d???cosydy?0D?4?ydx?sin10021
?4??sin3td(cos3t)?sin1?
6?12?2(si4nt?sint)dt?sin103???sin18． …………. 6’
43．求摆线x?a(t?sint)，y?a(1?cost)(0?t??)的弧的重心．
（6分，难度：二级）
tds?(xt?)2?(yt?)2dt?a2(1?cost)dt?2asindt2． …………. 1’ 解：
tM??ds??2asindt?4aL02． …………. 2’
?tMx??xds??a(t?sint)2asindtL02
??tt3?2a2?tsindt?a2?(cos?cost)dt00222 816?8a2?a2?a233 ． …………. 3’
?tMy??yds??a(1?cost)2asindtL02 ??t3t?2a2?sindt?a2?(sint?sin)dt00222 416?4a2?a2?a233． …………. 4’
?故
x?My4Mx4?ay??aM3，M3． ………….6’
?x2?y2?144．计算?从z轴正向看L的方向(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz，其中L是???x?y?z?2L为顺时针方向．
（5分，难度：二级）
解：取?为x?y?z?2被x?y?1所截得的部分，由右手定则方向为下侧，根 据斯托克斯公式有：
22?(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz
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第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
???0dydz?0dzdx?2dxdy? …………. 3’
??2??dxdy??2?Dxy． …………. 5’
45．
??xzdydz?y?22zdzdx?xz2dxdy其中?是z?x2?y2在0?z?1的第一象限部分的下侧．
（8分，难度：三级）
解：补面?1,?2,?3，
22 ?1:z?1，x?y?1，x?0，y?0，取上侧； 2 ?2:y?0，x?z?1，x?0，取左侧；
2?:x?0y?z?1， y?0，取后侧． …………. 1’ 3 ，
x??
?2zdydz?y2zdzdx?xz2dxdy
?
???1??2??3????????????1?2?3
…………. 2’
????(4xz?2yz)dv???xdxdy?0?0?Dxy …………. 5’
?010?0??2d??rdr?2(4rco?s?z?2rsin??z)dz??2d??rco?s?rdr0r11
?1215??21321． …………. 8’
2xy2?3x246. 验证3dx? dy是某个函数u(x,y)的全微分，并求出这个函数。yy4（6分，难度：二级）
2xy2?3x2解：令P?3，Q?
yy4?P?6x?Q?4=，（y?0） …………. 2’
?x?yy2xy2?3x2所以当y?0时 3dx?dy是某个函数u(x,y)的全微分。
yy4则
x2x1dy??3dx …………. 4’ 20yyu(x,y)??(x,y)(0,1)Pdx?Qdy??y1x21=3??1 …………. 6’ yy- 30 -