第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
31．设l:??x??(t)（ ）． (A) (??t??,)那么曲线积分计算公式?P(x,y)dx?Q(x,y)dy=
l?y??(t)(2分，难度：一级) (A)． (B)． (C)． (D)．32.设I???[P(?(t),?(t))??(t)?Q(?(t),?(t))??(t)]dt ??[P(?(t),?(t))?Q(?(t),?(t))]??(t)dt ??[P(?(t),?(t))?Q(?(t),?(t))]??(t)dt ??[P(?(t),?(t))?Q(?(t),?(t))]dt
L???????yxdx?dy，则( ) （B） (2分，难度：二级)
x2?y2x2?y2
（A）对任意分段光滑的闭曲线，有I?0；
（B）在L不包含原点时，I?0，其中L是任意分段光滑闭曲线；
?P?Q和（C）因为在原点不存在，故对任何分段光滑闭曲线L，I?0； ?y?x（D）在L包含原点时I?0，在L不包含原点时I?0.
33. 设C是平面上有向曲线，下列曲线积分中，（ ）是与路径无关的．(A)
(2分，难度：二级)
(A)．(C)．
??C3yx2dx?x3dy (B)．?ydx?xdy
CC2xydx?x2dy (D)．?3y2xdx?y3dy
C34. 若P(x,y)及Q(x,y)在单连通域D 内有连续的一阶偏导数，则在D内，曲线积分． (B) (2分，难度：一级) ?Pdx?Qdy与路径无关的充分必要条件是（ ）
l(A)．在域D 内恒有
?P?Q?Q?P?? (B)．在域D 内恒有 ?x?y?x?y(C) 在域D 内恒有
?Q?P??0 ?x?y (D)．在D内任一条闭曲线l?上，曲线积分35.设曲面?:|x|?|?Pdx?Qdy?0
l?y|?|z|?1,则??|xyz|ds =( ) (B) (2分，难度：三级)
?(A).0 (B).
3 (C). 83 (D). 43 15- 6 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
36．设?是yoz平面上的圆域y2?z2?1,则
??(x?2?y2?z2)dS=（ ）（D）
(2分，难度：二级)
(A)0; (B) ?; (C )
二、填空题
1. 设L是以(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分
11?; (D ) ?. 42??ydx-(eLy2+x)dy= -2 (2分，难度：二级)
2.S为球面x2?y2?z2?a2的外侧,则??(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy?0
s (2分，难度：一级) 3．
ydx-xdy =?2? (2分，难度：二级) 22??x+yx2+y2=14．曲线积分I???(xC2?y2)ds，其中C是圆心在原点，半径为a的圆周，则I?2?a3
(2分，难度：一级)
5．设∑为上半球面z?4?x2?y2?z?0?，则曲面积分???x2?y2?z2?ds= 32π
? (2分，难度：二级)
6. 设曲线C为圆周x?y?1,则曲线积分
22???xC2?y2?3x?ds? 2? . (2分，难度：二级)
7. 设C是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分
?C(x?y)ds?1+的值为 ?。
2 (2分，难度：二级)
8. 设?为上半球面z?4?x2?y2，则曲面积分???ds1?x2?y2?z283 (2分，难度：二级)
9. 光滑曲面z=f（x，y）在xoy平面上的投影区域为D，则曲面z?f(x,y)的面积是
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第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
S???1?(D?z2?z2)?()d? ?x?y(2分，难度：一级)
10．设L是抛物线y?x3上从点(2,8)到点(0,0)的一段弧，则曲线积分(2x-4y)dx? 12 ?L(2分，难度：一级)
11、设?为螺旋线x?cost,y?sint,z?3t上相应于t从0到?的一段弧，
则曲线积分I??(x2?y2?z2)ds? 2??1??2? . (2分，难度：二级)
?12、设L为x2?y2?a2的正向，则
/////////////////////
xdy?ydx??Lx2?y2? 2? .(2分，难度：二级)
13、设?是柱面x2?y2?4,介于则 1?z?3之间的部分曲面，它的法向指向OZ轴一侧，则
???x2?y2?z2dxdy= 0 (2分，难度：一级)
14、设L是单连通域上任意简单闭曲线取顺时针方向，a,b为常数，则
??adx?bdy=0 .(2分，难度：一级)
L15、设?是x?y?z?a的内侧(a?0),则
2222???x3dydz?y3dzdx?z3dxdy=?125?a 5.(2分，难度：二级)
?x2?y2?z2?1,其方向由x轴正向看去为逆时针方向，则 16．设曲线L为?z?z(|z|?1),00??L(x2?yz)dx?(y2?xzdy)?(z2?xy)dz=0 (2分，难度：二级)
2217．已知曲面?：z?x?y(z?1)，则
???1?4zdS=3? (2分，难度：二级)
18． 若?为光滑封闭曲面，V为其所围立体的体积，cos?,cos?,cos?为?的外法线的方向余弦，则曲面积分
????(xcos??ycos??zcos?)dS= 3V . (2分，难度：二级)
19．设C为x?y?a(a?0)的边界，则
??xyds? 0 (2分，难度：二级)
C20．设C为以A(1,1),B(2,2),C(1,3)为顶点的三角形的正向边界曲线，则曲线积分
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第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
222I=??2(x?y)dx?(x?y)dy??C4 (2分，难度：二级) 3
2321. 设L：2x2?y2?1，则曲线积分??L3xsinydx?xcosydy＝ 0 。
(2分，难度：一级)
t2t322．某物质沿曲线C：x?t，y?，z?（0≤ｔ≤1）分布，其线密度为??2y，
23则它的质量M可用定积分表示为
?10t1?t2?t4dt 。
(2分，难度：二级)
23．若
(x?y)dx?(x?y)dy22(x?y?0)为某函数的全微分，则m? 1 。 22m(x?y)(2分，难度：二级)
24．设C为抛物线y?1?x上自点A(?1,0)到点B(1,0)的一段弧，则曲线积分
2?AB222(x?y)dx?(x?y)dy的值为 . ?3 (2分，难度：二级)
25、设S:x?y?z?R，则
2222???S4?R4xds?. (2分，难度：二级)
32x2?y2?1，其周长为s，则?26．L是曲线xy?x2?4y2ds=4s ． ?4L??(2分，难度：二级)
27．L是顺时针方向的光滑封闭曲线，所围成的平面图型的面积为A，则
?2xdy?5ydx?3A ．
L(2分，难度：二级)
28. 曲线积分?(1,1)(0,0)(x3?2xy)dx?(x2?2y4)dy的值为
17 20(2分，难度：三级)
29．设F(x,y)为可微函数，则曲线积分?ABF(x,y)(ydx?xdy)与路径无关的
充要条件是 yFy?xFx
(2分，难度：三级)
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第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
x2x22?y?1上具有连续的二阶偏导数，L是椭圆?y2?1 30．设f(x,y)在44顺时针方向的曲线，则?[?3y?fx(x,y)]dx?fy(x,y)dy? ?6?
L(2分，难度：三级)
31．设?是由锥面z?个边界的外侧，则
x2?y2与半球面z?R2?x2?y2围成的空间区域，?是?的整
??xdydz?ydzdx?zdxdy?2?(1??23)R. 2(2分，难度：三级)
?x?3t?32. 空间曲线?y?3t2从O(0,0,0)到(3,3,2)的弧长? 5
?z?3t3?(2分，难度：二级)
x2y2??1,其周长为a，则33． 设L为椭圆43??(2xy?3xL2?4y2)ds? 12a .
(2分，难度：二级)
三、计算题 1．eL?x2?y2ds，其中L为圆周x2?y2?1，直线y?x及x轴在第一象限所围图形的边界。
（5分，难度：二级）
解：记线段OA方程y?x,0?x??x?cos?2?，圆弧AB方程?,0??? 24?y?sin?线段OB方程y?0,0?x?1。 ………………………………………………….. 2’
x2?y2x2?y2则原式＝
OA?eds＋
AB?eds＋
OB?ex2?y2ds＝?220e2x2dx＋?ed?＋?exdx…….4’
0?401＝2(e?1)??4e …………… 5’
?x?3costx2x(esiny?3y?x)dx?(ecosy?x)dy2. 计算?，其中l 为由点A(3,0)经椭圆?l?y?2sint- 10 -