第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
47．设AB为连接点A(0,1),B(1,2)的某一位于直线段AB之上的光滑曲线，又设?AB与AB
1x所围图形的面积为k,式计算曲线积分：(y?)dx?dy. 2?????AByy（7分，难度：三级）
解：令P?y?1x，Q?2 yy?P1?Q1，（y?0） …………. 2’ ?1?2，??yy?xy2设?AB与AB所围的区域为D，则
??????????ABBA1x?Q?P(y?)dx?2dy???(?)dxdy????dxdy??k …………. 4’
yy?x?yDDAB的方程为y?x?1
?????AB21x1y?1(y?)dx?2dy??(y??2)dy?1 …………. 6’
1yyyy1x(y?)dx?dy??(?k?1)?k?1. …………. 7’ ?????AByy248．验证(2xcosy?y2cosx)dx?(2ysinx?x2siny)dy在xoy平面内是某一函数u(x,y)的
全微分, 并求这个函数u(x,y).
（6分，难度：二级） 解： 在xoy平面内,P?2xcosy?y2cosx,Q?2ysinx?x2siny具有一阶连续偏导数,且
?Q?P?2ycosx?2xsiny? …………. 2’ ?x?y故所给表达式是某函数u(x,y)的全微分,并且有 u(x,y)? ?49．计算
??(x,y)(0,0)x(2xcosy?y2cosx)dx?(2ysinx?x2siny)dy …………. 4’
02xdx??y0(2ysinx?x2siny)dy?y2sinx?x2cosy …………. 6’
??(xy?yz?zx)ds,其中?为锥面z??x2?y2被柱面x2?y2?2ax所截得的有限部分.
（6分，难度：三级）
解: 曲面?在xoy平面上的投影区域为Dxy={(x,y)x2?y2?2ax}, 又曲面?关于xoz平面对称, 函数xy和yz都是关于y的奇函数, 故有
??xyds?0,???yzds?0 …………. 2’
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第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
x2?y222又在曲面?上, dS?1?(z?dxdy?2dxdy, x)?(z?y)dxdy?1?22x?y于是由计算第一型曲面积分的方法得
z?y??(xy?yz?zx)dS???zxdS?2??x??Dxyx2?y2dxdy ………….4’ Dxy?20x?rcos?,y?rsin???2?2??d?2?2acos?0r3cos?dr?82a4?cos5?d??82a44264??2a4 5315 ox………….6’
50.利用斯托克斯公式计算
???2ydx?3xdy?z2dz,其中?是圆周x2?y2?z2?9,z?0,若从
z轴正向看去, 这圆周取逆时针方向.
（6分，难度：二级）
解: 因曲线?在xoy平面上，即有z?0, 故若取?为xoy平面上的区域Dxy?{(x,y)x2?y2?9}的上侧, 则曲线?为?的正向边界曲线, 由斯托克斯公式有
dydzdzdxdxdy??? ………….4’
?x?y?z2y??Dxy
???2ydx?3xdy?z2dz????3x?z2??dxdy???dxdy?9? ………….6’
（7分，难度：三级）
51. 计算
??(z?y?2)ds,其中?为球面x2?y2?z2?R2与平面x?y?z?0的交线.
解: 因积分曲线?的方程对变量x,y,z具有轮换对称性，故
1xds?yds?zds?(x?y?z)ds ………….2’ ???3?1x2ds?y2ds?z2ds?(x2?y2?z2)ds ………….4’ ???3?
因而
1R22122222(0?R)ds??2?R??R3. (z?y)ds?[(x?y?z)?(x?y?z)]ds??3?333?………….7’ ??f?ds,其中f(x,y)?(x?2)2?y2，L为椭圆2x2?y2?1, n为L的52. 计算第一类曲线积分
L?n外法线向量．
（8分，难度：三级）
??????00解: 设L的逆时针方向单位切向量为??(cos?,sin?), 并且有cos?ds?dx,sin?ds?dy将?顺
????0时针旋转即得曲线L朝外的单位法向量n，因此
2?????0n?(cos(??),sin(??))?(sin?,?cos?)
22???dx于是 n0ds?(sin?,?cos?)??(tan?dx,?dx)?(dy,?dx) ………….2’
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第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
??f??f?f???0又???,??n,故 ?n??x?y????f?ds?L?n?L?????f?f???0?,??nds?L??x?y?????f?f?(dy,?dx)??,??L??x?y????f?fdy?dx ………….4’ L?x?y??2(x?2)dy?2ydx ………….6’
?4??Ddxdy?4?2??22? ………….8’ 22?. 2其中D为由L围成的椭圆域, 其面积为
53. 计算
??1y2xarctandx?arctandy，其中L是由圆周x2?y2?1,x2?y2?4与直线 Lxxyyy?x,y?3x在第一象限所围区域的正向边界.
（6分，难度：二级）
1y2xarctan,Q?arctan在D内具有一阶连xxyy?Q2?P1?2,?续偏导数, D为单连通域, 并且有 ………….2’ ?xx?y2?yx2?y2解: 因点(0,0)不包含在L所围的区域D内, 又P?利用格林公式得到
原积分?=
54. 计算I???D1dxdy ………….4’
x2?y2???3d?4?211?rdr?ln2 ………….6’
12r22?y(1?cosx)dx?sinxdy,其中l为从点A(0,1)沿曲线yl?1?x到点B(1,0)一段弧．
（7分，难度：三级）
解 因积分路径l不封闭,构造封闭曲线,添加路径L1与L2，记L??l（如图）, 使之构成封闭路径以应用格林公式计算，
L1:x?0,y?[0,1],则dx?0,
??L1?010dy?0 ………….2’
???0dx?0 ………….4’
则 ????0
L2:y?0,x?[0,1],则dy?0,L20L1L21而
??L?L1?L2???D(?1)dxdy??dy0??11?y202dx?? ………….6’
32??????? ………….7’ ?L?L1?L2?L1L2?3又积分路径l是顺时针方向，因此有
????2???I?y(1?cosx)dx?sinxdy?????? l?L?L1?L2?L1L2??3故
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第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
55. 计算曲面积分
??(y?z)dxdy?(x?2)dydz,其中?是抛物柱面y??x被平面x?z?1和
z?0所截下的那部分的后侧曲面.
（7分，难度：三级）
解 如右图,因为柱面y?x 在坐标面xoy上的投影是一条曲线,由 定义知
z1??(y?z)dxdy?0 ………….2’
??在坐标面yOz上的投影区域
记为Dyz:0?y?1,0?z?1?y2. 由于?取后侧,故
0n?Dyz1y???(x?2)dydz????(y2?2)dydz??Dyz??1(y2?2)dydz x………….4’ ??dy 0?? 1 1?y2 0(y?2)dz?? 12? 1 0(y2?2)?(1?y2)dy …………6’
1?6?????2y?y3?y5?? …………7’
5? 05?56． 已知流体的速度场
试求单位时间内流过立方体0?x?a,0?y?a,0?z?a的全表面的外侧的流量(流体的密度为1).
（7分，难度：三级）
解 流量为
??2??2v?(2x?z)i?xyj?xzk
????(2x?z)dydz?x?2ydzdx?xz2dxdy………….2’
………….5’
?(2?x???? a a 0 a 0 a2?2xz)dxdydz
a 0?????dx?(2a?ax?ax)dy ?a?(2a?ax?ax)dx
22 0 0? dxdy(2?x2?2xz)dz
a22 0?2a4a4??a2?3????a?.………….7’ ?2a?3?2??a?2?6??? ??57．利用斯托克斯公式计算曲线积分
?(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz
L?x2?y2?1其中L是曲线?从z轴的正向看去L的方向是顺时针的.
x?y?z?2?（8分，难度：四级）
解 设?是平面x?y?z?2上以L为边界的有限部分,其法向量与
z轴正向的夹角为钝
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第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
角,?在xOy平面上的投影区域为Dxy:x2?y2?1.P?z?y,Q?x?z,R?x?y.则由斯托克斯公式
?(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz
L????dydz??xPdzdx??yQdxdy???zR???dydz??xz?ydzdx??yx?zzdxdy?. ………….6’ ?zx?y? ??Dxy2………….8’ n??2dxdy??2??dxdy??2? ?1x1O
57． 求均匀曲面?:z?a2?x2?y2的重心坐标.
1y
（7分，难度：二级）
解： 已知?是中心在原点,半径为a的上半球面.由于?关于坐标面yoz,zox均对称,故有
x?0,y?0. ………….2’ 设?的面密度为?,?的质量为M?2?? a2.
1z?? z dS ………….3’
M???曲面?在坐标面xOy上的投影Dxy:x2?y2?a2,则
z?1M12?? a212?? a2???? zdS?12?? a22Dxy2??2?a2?x2?y2?1?zx?z2y dxdy ………….4’
?Dxy??? ???a?x?y?1?2x2?y2a2?x2?y2a2dxdy
?a?x?y?222Dxya2?x2?y2dxdy
?12? a2Dxy??adxdy?1a ………….6’ 21??所以曲面?的重心坐标为:?0,0,a?. ………….7’
2??xyz4??58．?z?2x?y?dS,其中?为平面???1在第一卦限的部分.
3?234????（5分，难度：二级）
xy??解 设?:z?4?1???,
23??xy???x?0,y?0,??1?,?在坐标面xoy上的投影区域Dxy为：
23??xy??1,x?0,y?0.由于 23- 35 -