（5）如果①②
，；
特别地
，则
应用同余式的上述性质，可以解决许多有关整数的问题.
例1（1898年匈牙利奥林匹克竞赛题）求使2n+1能被3整除的一切自然数n. 解∵则2n+1
∴
∴当n为奇数时，2n+1能被3整除； 当n为偶数时，2n+1不能被3整除. 例2 求2999最后两位数码. 解 考虑用100除2999所得的余数. ∵∴又∴
∴
∴2999的最后两位数字为88.
例3 求证31980+41981能被5整除. 证明 ∵
∴∴∴
2．不定方程
不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解.
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(1) 不定方程解的判定
如果方程的两端对同一个模m(常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶性分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解. 例4 证明方程2x2-5y2=7无整数解. 证明 ∵2x2=5y2+7，显然y为奇数. ① 若x为偶数，则
∴
∵方程两边对同一整数8的余数不等， ∴x不能为偶数. ② 若x为奇数，则但5y2+7
∴x不能为奇数.因则原方程无整数解.
说明:用整数的整除性来判定方程有无整数解,是我们解答这类问题的常用方法. 例5 (第14届美国数学邀请赛题)不存在整数x,y使方程
①
证明 如果有整数x，y使方程①成立， 则=
知（2x+3y2）+5能被17整除.
设2x+3y=17n+a，其中a是0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8中的某个数，但是这时（2x+3y）2+5=（17n）2+34na+（a2+5）=a2+5（mod17），而a2+5被17整除得的余数分别是5，6，9，14，4，13，7，3，1，即在任何情况下（2x+3y）2+5都不能被17整除，这与它能被17整除矛盾.故不存在整数x，y使①成立.
例7 （第33届美国数学竞赛题）满足方程x2+y2=x3的正整数对（x，y）的个数是（ ）. （A）0 （B）1（C）2（D）无限个（E）上述结论都不对 解由x2+y2=x3得y2=x2（x-1），
所以只要x-1为自然数的平方，则方程必有正整数解.令x-1=k2(k为自然数),则一组通解.由于自然数有无限多个,故满足方程的正整数对(x,y)有无限多个,应选(D). 说明:可用写出方程的一组通解的方法,判定方程有无数个解. (2) 不定方程的解法
为方程的
不定方程没有统一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式（质因数）分解法、不等式法、奇偶分析法和余数分析法.对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路. 例6 求方程
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的整数解.
解(配方法)原方程配方得(x-2y)2+y2=132.
在勾股数中,最大的一个为13的只有一组即5,12,13,因此有8对整数的平方和等于132即(5,12),(12,5),(-5,-12),(-12,-5),(5-,12),(12,-5),(-5,12),(-12,5).故原方程组的解只能是下面的八个方程组的解
解得
例7 (原民主德国1982年中学生竞赛题)已知两个自然数b和c及素数a满足方程a2+b2=c2.证明:这时有a＜b及b+1=c.
证明（因式分解法）∵a2+b2=c2， ∴a2=（c-b）（c+b），
又∵a为素数，∴c-b=1，且c+b=a2. 于是得c=b+1及a2=b+c=2b+1＜3b，
即＜.而a?3,∴?1，∴＜1.∴a＜b.
例9（第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程
的正整数（a，b，c）的组数是（ ）. （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （E）4 解（质因数分解法）由方程ac+bc=23得 （a+b）c=23=1323.
∵a，b，c为正整数，∴c=1且a+b=23.将c和a=23-b代入方程ab+bc=44得 (23-b)b+b=44,即(b-2)(b-22)=0,
∴b1=2,b2=22.从而得a1=21,a2=1.故满足联立方程的正整数组(a,b,c)有两个,即(21,2,1)和(1,22,1),应选(C).
例10求不定方程2(x+y)=xy+7的整数解.
解 由(y-2)x=2y-7,得
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分离整数部分得
由x为整数知y-2是3的因数, ∴y-2=±1，±3，∴x=3，5，±1. ∴方程整数解为
例11 求方程x+y=x2-xy+y2的整数解.
解（不等式法）方程有整数解 必须△=（y+1）2-4（y2-y）?0，解得
?y?.
满足这个不等式的整数只有y=0，1，2.
当y=0时，由原方程可得x=0或x=1；当y=1时，由原方程可得x=2或0；当y=2时，由原方程可得x=1或2.
所以方程有整数解
最后我们来看两个分式和根式不定方程的例子.
例12 求满足方程且使y是最大的正整数解（x，y）.
解将原方程变形得
由此式可知，只有12-x是正的且最小时，y才能取大值.又12-x应是144的约数，所以， 12-x=1，x=11，这时y=132. 故 满足题设的方程的正整数解为 （x，y）=（11，132）.
例13（第35届美国中学生数学竞赛题）满足0＜x＜y及数是（ ）.
（A）0 （B）1 （C）3 （D）4 （E）7 解法1 根据题意知，0＜x＜1984，由
得
的不同的整数对（x，y）的个
当且仅当1984x是完全平方数时，y是整数.而1984=26231，故当且仅当x具有31t2形式时，1984x是完全平方数.
∵x＜1984，∵1?t?7.当t=1，2，3时，得整数对分别为（31，1519）、（124，1116）和（279，775）.当t＞3时y?x不合题意，因此不同的整数对的个数是3，故应选（C）. 解法2 ∵1984=
∴
由此可知：x必须具有31t2形式，y必须具有31k2形式，并
且t+k=8（t，k均为正整数）.因为0＜x＜y，所以t＜k.当t=1，k=7时得（31，1519）；t=2，k=6时得（124，
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1116）；当t=3，k=5时得（279，775）.因此不同整数对的个数为3. 练习二十
1. 选择题
(1)方程x2-y2=105的正整数解有( ).
（A） 一组 （B）二组 （C）三组 （D）四组
(2)在0,1,2,?，50这51个整数中，能同时被2，3，4整除的有（ ）. （A） 3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个 2．填空题
（1）的个位数分别为_________及_________. (2)满足不
等式104?A?105的整数A的个数是x3104+1，则x的值________.
(3) 已知整数y被7除余数为5,那么y3被7除时余数为________.
(4) (全俄第14届中学生数学竞赛试题)求出任何一组满足方程x2-51y2=1的自然数解x和y_________. 3.(第26届国际数学竞赛预选题)求三个正整数x、y、z满足
.
4．（1985年上海数学竞赛题）在数列4，8，17，77，97，106，125，238中相邻若干个数之和是3的倍数，而不是9的倍数的数组共有多少组？
5．求6．求证
的整数解.
可被37整除.
7．（全俄1986年数学竞赛题）求满足条件的整数x，y的所有可能的值.
8．（1985年上海初中数学竞赛题）已知直角三角形的两直角边长分别为l厘米、m厘米，斜边长为n厘米，且l，m，n均为正整数，l为质数.证明：2（l+m+n）是完全平方数.
9.(1988年全国初中数学竞赛题)如果p、q、 练习二十 1.D.C.
、都是整数，并且p＞1，q＞1，试求p+q的值.
2.(1)9及1. (2)9. (3)4.
(4)原方程可变形为x2=(7y+1)2+2y(y-7),令y=7可得x=50.
3.不妨设x?y?z,则,故x?3.又有故x?2.若x=2,则,故y?6.又有
,故y?4.若y=4,则z=20.若y=5,则z=10.若y=6,则z无整数解.若x=3,类似可以确定3?y?4,y=3
或4,z都不能是整数. 4.可仿例2解.
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