【例6】
A?90°，AD⊥BC于D，△PQR是它的任一内接三角形。求证：PQ+QR+RP>2AD。 【分析】设P
P’，P
△ABC中，∠
P‘’。则RP=RP‘，PQ=P’‘Q，AP=AP’=AP‘’。
∴PQ+QR+RP= P‘’Q+QR+RP‘。
又∠A?90°，∴∠P’AP+∠P‘’AP=2∠A?180°，A点在线段P‘P’‘上或在凸四边形P’RQP‘’的内部。∴P‘’Q+QR+RP‘>AP’+AP‘’=2AP>2AD。
∴PQ+QR+RP>2AD。
【评注】如果题设中有角平分线、垂线，或图形是等腰三角形、圆等轴对称图形，可以将图形或其部分进行轴对称变换。此外，也可以适当选择对称轴将一些线段的位置变更，以便于比较它们之间的大小。
【例7】以△ABC的边AB、AC为斜边分别向外
作等腰直角三角形APB、AQC，M是BC的中点。求证：MP=MQ，MP⊥MQ。
【分析】延长BP到E，使PE=BP，延长CQ到F， 使QF=CQ，则△BAE、△CAF都是等腰三角形。 显然：E
B，C
F，∴EC=BF，EC⊥BF。
而PMEC，MQBF，∴MP=MQ，MP⊥MQ。
【例8】已知O是△ABC内一点，∠AOB=
∠BOC=∠COA=120°；P是△ABC内任一点，求证：PA+PB+PC?OA+OB+OC。（O为费马点） 【分析】将C
C‘，O
O’， P
P‘，连结OO’、PP‘。则△B OO’、
△B PP‘都是正三角形。
∴OO’=OB，PP‘ =PB。显然△BO’C‘≌△BOC，△BP’C‘≌△BPC。
由于∠BO’C‘=∠BOC=120°=180°-∠BO’O，∴A、O、O‘、C’四点共线。
∴AP+PP‘+P’C‘?AC’=AO+OO‘+O’C‘，即PA+PB+PC?OA+OB+OC。
【例9】⊙O与△ABC的三边BC、CA、AB分别交于点A1、A2、B1、B2、C1、C2，过上述六点分别作所在边
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的垂线a1、a2、b1、b2、，设a1、b2、c1三线相交于一点D。求证：a2、b1、c2三线也相交于一点。
【分析】∵a1、a2关于圆心O成中心对称， ∴a1同理，b1
a2。
b2，c1
c2。
∴a1、b2、c1的公共点D在变换R（O，180°）下的像D’也是像a2、b1、c2的公共点，即a2、b1、c2三线也相交于一点。
【例10】AD是△ABC的外接圆O的直径，过D作⊙O的切线交BC于P，连结并延长PO分别交AB、AC于M、N。求证：OM=ON。
【分析】设O
O‘，N
N’，而M
B，
∵M、O、N三点共线，∴B、O‘、N’三点共线，且取BC中点G，连结OG、O‘G、DG、DB。
∵∠OGP=∠ODP=90°，∴P、D、G、O四点共圆。 ∴∠ODG=∠OPG，而由MN∥BN’有∠OPG=∠O‘BG， ∴∠ODG=∠O’BG，∴O‘、B、D、G四点共圆。
。
∴∠O’GB=∠O‘DB。而∠O’DB=∠ACB，∴∠O‘GB=∠ACB，O’G∥AC， 而G是BC的中点，∴O‘是BN’的中点，O‘B= O’ N‘， ∴OM=ON。
竞赛讲座09 －圆
基础知识
如果没有圆，平面几何将黯然失色．
圆是一种特殊的几何图形，应当掌握圆的基本性质，垂线定理，直线与圆的位置关系，和圆有关的角，切线长定理，圆幂定理，圆和圆的位置关系，多边形与圆的位置关系．
圆的几何问题不是独立的，它与直线形结合起来，将构成许多丰富多彩的、漂亮的几何问题，“三角形的心”，“几何著名的几何定理”，“共圆、共线、共点”，“直线形” 将构成圆的综合问题的基础．
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本部分着重研究下面几个问题： 1．角的相等及其和、差、倍、分； 2．线段的相等及其和、差、倍、分； 3．二直线的平行、垂直；
4．线段的比例式或等积式； 5．直线与圆相切；
6．竞赛数学中几何命题的等价性． 命题分析
例1．已知A为平面上两个半径不等的⊙O1和⊙O2的一个交点，两圆的外公切线分别为P1P2,Q1Q2，M1、M2分别为P1Q1、P2Q2的中点，求证：?O1AO2??M1AM2．
例2．证明：唯一存在三边长为连续整数且有一个角为另一个角的两倍的三角形．
例3．延长AB至D，以AD为直径作半圆，圆心为H，G是半圆上一点，?ABG为锐角．E在线段BH?TBG?13?ABG上，Z在半圆上，EZ∥BG，且EH?ED?EZ，BT∥HZ．求证：
2．
例4．求证：若一个圆外切四边形有两条对边相等，则圆心到另外两边的距离相等．
例5．设?A是△ABC中最小的内角，点B和C将这个三角形的外接圆分成两段弧，U是落在不含A的那段弧上且不等于B与C的一个点，线段AB和AC的垂直平分线分别交线段AU于V和W，直线BV和
CW相交于T．证明：AU?TB?TC．
例6．菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E,F,G,H，在EF与GH上分别作⊙O切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证：MQ∥NP．
例7．⊙O1和⊙O2与△ABC的三边所在直线都相切，E,F,G,H为切点，并且EG,FH的延长线交于点P．求证：直线PA与BC垂直．
例8．在圆中，两条弦AB,CD相交于E点，M为弦AB上严格在E、B之间的点．过D,E,M的圆在EAM?tCE⌒⌒点的切线分别交直线BC、AC于F,G．已知AB，求EF（用t表示）．
例9．设点D和E是△ABC的边BC上的两点，使得?BAD??CAE．又设M和N分别是△ABD、
1?1MD?1NC?1NE．
△ACE的内切圆与BC的切点．求证：MB例10．设△ABC满足?A?90?，?B??C，过A作△ABC外接圆W的切线，交直线BC于D，设A第 38 页 共 87 页
关于直线BC的对称点为E，由A到BE所作垂线的垂足为X，AX的中点为Y，BY交W于Z点，证明直线BD为△ADZ外接圆的切线．
?1经过?2的圆心．例11．两个圆?1和?2被包含在圆?内，且分别现圆?相切于两个不同的点M和N．经
过?1和?2的两个交点的直线与?相交于点A和B，直线MA和直线MB分别与?1相交于点C和D．求证：CD与?2相切．
例12．已知两个半径不相等的⊙O1和⊙O2相交于M、N两点，且⊙O1、⊙O2分别与⊙O内切于S、
T两点．求证：OM?MN的充要条件是S、N、T三点共线．
例13．在凸四边形ABCD中，AB与CD不平行，⊙O1过A、B且与边CD相切于点P，⊙O2过C、
D且与边AB相切于点Q．F，EF平分线段PQ的充要条件是BC∥AD．⊙O1和⊙O2相交于E、求证：
例14．设凸四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，且两对边AB与CD不平行．点P为线段
AB与CD的垂直平分线的交点，且在四边形的内部．求证：A、B、C、D四点共圆的充要条件为
S?PAB?S?PCD．
训练题
1．△ABC内接于⊙O，?BAC?90?，过B、C两点⊙O的切线交于P，M为BC的中点，求证：（1）
AMAP?cos?BAC；（2）?BAM??PAC．
⌒⌒⌒???BC，CA,AB2．已知A,B,C分别是△ABC外接圆上不包含A,B,C的弧的中点，BC分别和C?A?、A?B?相交于M、N两点，CA分别和A?B?、B?C?相交于P、Q两点，AB分别和B?C?、C?A?相交于R、S两点．求证：MN?PQ?RS的充要条件是△ABC为等边三角形．
3．以△ABC的边BC为直径作半圆，与AB、CA分别 交于点D和E，过D、E作BC的垂线，垂足分别为F、G．线段DG、EF交于点M．求证：AM?BC．
4．在△ABC中，已知?B内的旁切圆与CA相切于D，?C内的旁切圆与AB相切于E，过DE和BC的中点M和N作一直线，求证：直线MN平分△ABC的周长，且与?A的平分线平行．
5．在△ABC中，已知，过该三角形的内心I作直线平行于AC交AB于F．在BC边上取点P使得
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3BP?BC．求证：
?BFP?12?B．
6．半圆圆心为O，直径为AB，一直线交半圆于C,D，交AB于M（MB?MA,MC?MD）．设K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外之另一交点．求证：?MKO为直角 ．
7．已知，AD是锐角△ABC的角平分线，?BAC??，?ADC??，且cos??cos?．求证：
AD22?BD?DC．
MC8．M为△ABC的边AB上任一点，r1,r2,r分别为△AMC、△B、△ABC的内切圆半径；?1,?2,?分别为这三个三角形的旁切圆半径（在?ACB内部）．
r1?r2?r求证：
?1?2?．
9．设D是△ABC的边BC上的一个内点，AD交△ABC外接圆于X，P、Q是X分别到AB和AC的垂足，O是直径为XD的圆．证明：PQ与⊙O相切当且仅当AB?AC．
10．若AB是圆的弦，M是AB的中点，过M任意作弦CD和EF，连CD,DE分别交AB于X,Y，则
MX?MY．
11．设H为△ABC的垂心，P为该三角形外接圆上的一点，E是高BH的垂足，并设PAQB与PARC都是平行四边形，AQ与BR交于X．证明：EX∥AP．
12．在△ABC中，?C的平分线分别交AB及三角形的外接圆于D和K，I是内切圆圆心．证明：（1）
1ID?1IK?1CI?IDIK?1CI；（2）ID．
竞赛讲座10 --抽屉原则
大家知道，两个抽屉要放置三只苹果，那么一定有两只苹果放在同一个抽屉里，更一般地说，只要被放置的苹果数比抽屉数目大，就一定会有两只或更多只的苹果放进同一个抽屉，可不要小看这一简单事实，它包含着一个重要而又十分基本的原则——抽屉原则. 1． 抽屉原则有几种最常见的形式
原则1 如果把n+k(k?1)个物体放进n只抽屉里，则至少有一只抽屉要放进两个或更多个物体：
原则本身十分浅显，为了加深对它的认识，我们还是运用反证法给予证明；如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k?1)，这不可能.
原则虽简单.巧妙地运用原则却可十分便利地解决一些看上去相当复杂、甚至感到无从下手的总是，比如
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