例11．已知?ABC的三边a?b?c，现在AC上取AB??AB，在BA延长线上截取BC??BC，在CBS?S?A?B?C?上截取CA??CA，求证：?ABC．
例12．?A?B?C?在?ABC内，且?ABC∽?A?B?C?，求征：
S?A?BC?S?B?CA?S?C?AB?S?ABC
例13．在?ABC的三边BC,CA,AB上分别取点D,E,F，使BD?3DC,CE?3EA，AF?3FB，连
AD,BE,CF相交得三角形PQR，已知三角形ABC的面积为13，求三角形PQR的面积．
例14．E为圆内接四边形ABCD的AB边的中点，EF?AD于F，EH?BC于H，EG?CD于G，求证：EF平分FH．
例15．已知边长为a,b,c,的?ABC，过其内心I任作一直线分别交AB,AC于M,N点，求证：
MIIN?a?cb．
???例16．正△PQR?正△PQR，AB?a1，BC?b1，CD?a2，DE?b2， EF?a3，
FA?b3．求证：
a1?a2?a3?b1?b2?b3222222．
???例17．在正?ABC内任取一点O，设O点关于三边BC,CA,AB的对称点分别为A,B,C，则AA?,BB?,CC?相交于一点P．
例18．已知AC,CE是正六边形ABCDEFAMAC?CNCE?k的两条对角线，点M,N分别内分ACCE，且使
，如果B,M,N三点共线，试求k的值．
例19．设在凸四边形ABCD中，直线CD以AB为直径的圆相切，求证：当且仅当BC∥AD时，直线AB与以CD为直径的圆相切． 训练题
2?ABCcm1．设的面积为10，D,E,F分别是AB,BC,CA边上的点，且AD?2cm,DB?3cm,若
S?ABE?SDBEF，求?ABE的面积．
2．过?ABC内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将?ABC分成六部份，其中，三部份为三角形，其面积为
S1,S2,S3，求三角形?ABC的面积．
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3．在?ABC的三边AB,BC,CA上分别取不与端点重合的三点M,K,L，求证：?AML，?BKM,?CLK1中至少有一个的面积不大于?ABC的面积的4．
4．锐角?ABC的顶角A的平分线交BC边于L，又交三角形的外接圆于N，过L作AB和AC边的垂线
LK和LM,垂足是K,M，求证：四边形AKNM的面积等于?ABC的 面积．
DC?13BC5．在等腰直角三角形ABC的斜边BC上取一点D，使
AE?EC．
，作BE?AD交AC于E，求证：
6．三条直线l,m,n互相平行，l,n在m的两侧，且l,m间的距离为2，m,n间的距离为1，若正?ABC的三个顶点分别在l,m,n上，求正?ABC的边长．
P1P,P2P,P3P7．已知
?P1P2P3及其内任一点P，直线
PiP分别交对边于
QiPQ1PQ2PQ3（i?1,2,3），证明：在这
三个值中，至少有一个不大于2，并且至少有一个不小于2．
8．点D和E分别在?ABC的边AB和BC上，点K和M将线段DE分为三等分，直线BK和BM分别
TP?13AC与边AC相交于点T和P，证明：
．
???9．已知P是?ABC内一点，延长AP,BP,CP分别交对边于A,B,C，其中AP?x，BP?y,CP?z,PA??PB??PC??w，且x?y?z?23,w?3，求xyz之值． ?????10．过点P作四条射线与直线l,l分别交于A,B,C,D和A,B,C,D，求证： AB?CDAD?BCA?B??C?D?A?D??B?C?．
?11．四边形ABCD的两对对边的延长线分别交K,L，过K,L作直线与对角线AC,BD的延长线分别
LF?LGKG．
G,F，求证：KF12．G为?ABC的重心，过G作直线交AB,AC于E,F，求证：EG?2GF．
竞赛专题讲座08 －几何变换
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【竞赛知识点拨】 一、 平移变换 1． 定义 设使得
=
是一条给定的有向线段，T是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X‘，
的平移变换。记为X
X’，图形F
F‘ 。
，则T叫做沿有向线段
2． 主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。
二、 轴对称变换
1． 定义 设l是一条给定的直线，S是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X’，使得X与X‘关于直线l对称，则S叫做以l为对称轴的轴对称变换。记为X条直线的夹角被对称轴平分。 三、 旋转变换
1． 定义 设α是一个定角，O是一个定点，R是平面上的一个变换，它把点O仍变到O（不动点），而把平面图形F上任一点X变到X’，使得OX‘=OX，且∠XOX’=α，则R叫做绕中心O，旋转角为α的旋转变换。记为XF’ 。
其中α<0时，表示∠XOX‘的始边OX到终边OX’
的旋转方向为顺时针方向；α>0时，为逆时针方向。
2． 主要性质 在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。
四、 位似变换
1． 定义 设O是一个定点，H是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X‘，使得=k2
，则H叫做以O为位似中心，k为位似比的位似变换。记为X
X’，图形F
X‘，图形FX’，图形F
F‘ 。
2． 主要性质 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两
F‘ 。
其中k>0时，X’在射线OX上，此时的位似变换叫做外位似；k<0时, X‘在射线OX的反向延长线上，此
时的位似变换叫做内位似。
2． 主要性质 在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心。 【竞赛例题剖析】
【例1】P是平行四边形ABCD内一点，且∠PAB=∠PCB。 求证：∠PBA=∠PDA。 【分析】作变换△ABP
△DCP’，
AD
BC，ADPP‘、PP’CB都是平行四边形，知∠2=∠8，
则△ABP≌△DCP‘，∠1=∠5，∠3=∠6。由PP’∠4=∠7。由已知∠1=∠2，得∠5=∠8。
∴P、D、P‘、C四点共圆。故∠6=∠7，即∠3=∠4。
【例2】“风平三角形”中，AA’=BB‘=CC’=2，∠AOB‘=∠BOC’=60°。
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求证：Ｓ△AOB‘+Ｓ△BOC’+Ｓ△COA‘<
【分析】作变换△A’OC
△AQR‘，△BOC’
。
△B‘PR’‘，则R’、R‘’重合，记为R。
P、R、Q共线，O、A、Q共线，O、B‘、P共线，△OPQ为等边三角形。 ∴Ｓ△AOB’+Ｓ△BOC‘+Ｓ△COA’<Ｓ△OPQ=
【例3】
夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形。 【分析】取AC、BD的中点E、F，令AC
在两条对角线长度以及
A‘C’，则A‘BC’D是一个符合条件的平行四边形。延
长AF、CC‘交于G。
∵E是AC的中点且EF∥CC’，FC‘∥EC，∴F、C’分别为AG、CG的中点。 ∴AD+BC=BG+BC?2BC‘=A’D+BC‘。 同理可得AB+DC?A’B+DC‘。
故当四边形为平行四边形时，周长最小。
【评注】当已知条件分散，尤其是相等的条件分散，而又不容易找出证明途径，或题目中有平行条件时，将图形的某一部分施行平移变换，常常十分凑效。
【例4】
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P是⊙O的弦AB的中点，过P点
引⊙O的两弦CD、EF，连结DE交AB于M，连结CF交AB于N。求证：MP=NP。（蝴蝶定理） 【分析】设GH为过P的直径，FPA
F’F，显然‘∈⊙O。又P∈GH，∴PF’=PF。∵PF
PF‘，
PB，∴∠FPN=∠F’PM，PF=PF‘。
又FF’⊥GH，AN⊥GH，∴FF‘∥AB。∴∠F’PM+∠MDF‘=∠FPN+∠EDF’
=∠EFF‘+∠EDF’=180°，∴P、M、D、F‘四点共圆。∴∠PF’M=∠PDE=∠PFN。 ∴△PFN≌△PF‘M，PN=PM。
【评注】一般结论为：已知半径为R的⊙O内一弦AB上的一点P，过P作两条相交弦CD、EF，连CF、ED
交AB于M、N，已知OP=r，P到AB中点的距离为a，则线系知识）
。（解析法证明：利用二次曲
【例5】⊙O是给定锐角∠ACB内一个定圆，试在⊙O及射线CA、CB上各求一点P、Q、R，使得△PQR的周
长为最小。
【分析】在圆O上任取一点P0，令P0
P1，P0
P2，连结P1P2分别交CA、CB于Q1、R1。
显然△P0Q1R1是在取定P0的情况下周长最小的三角形。
设P0P1交CA于E，P0P2交CB于F，则P0Q1 +Q1R1 +R1P0= P1P2=2EF。
∵E、C、F、P0四点共圆，CP0是该圆直径，由正弦定理，EF=CP0sin∠ECF。 ∴当CP0取最小值时，EF为最小，从而△P0Q1R1的周长为最小，于是有作法： 连结OC，交圆周于P，令P所求。
P1，P
P2，连结P1P2分别交CA、CB于Q、R。则P、Q、R为
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