第二节 单容被控对象的动态特性?
单容被控对象是指只有一个贮存物质或能量的容积。这种对象用一阶微分方程式来描述。单容被控对象可分为有自平衡单容对象和无自平衡单容对象两大类。?
一、有自平衡的单容对象?
单容水槽如图2-2所示，代表有自平衡的单容对象，水经过阀门1(调节阀)不断地流入水槽，水槽内的水又通过阀门2(流出阀)不断流出。在这里水槽就是被控对象，液位h就是输出信号，如果阀门2的开度保持不变，而阀门1的开度变化是引起液位变化的干扰因素即输入信号。那么，这里所指的对象特性，就是指当阀门1的开度变化时(基本扰动作用下)，液位h是如何变化的。??
1 μ Q1k? 2 h
图2-2 有自平衡单容对象
F RsQ2
（一）?阶跃响应?
用实验方法求取对象动态特性时，如图2-2所示，阀门2的开度保持不变，即不存在外部扰动，先调整阀门1流入量和流出量相等，液位h稳定在某个高度上不变，即h＝h0，Q1＝Q10?，Q2＝Q20?，这是起始的稳定工况。在t＝t0瞬间突然把阀门1开大Δμ0，流入量Q1成比例(假定控制阀的流量特性为线性的)阶跃增大ΔQ1。流出阀的开度保持不变，则暂时Q2不变。t＝t0时刻有不平衡流量ΔQ＝Q10＋ΔQ1－Q20＝ΔQ1所以液位h开始上升，且上升速度与ΔQ成正比。这时流出量Q2就会随着液位h的升高而增大，可见ΔQ＝ΔQ1－ΔQ2越来越小，因此液位上升速度越来越慢，直到Q2重新和Q1相等液位停止变化，建立一个新的平衡状态(稳定在一个新的值)。记录的实验曲线如图2-3所示。该曲线称为单容水槽的动态特性曲线或单容水槽的阶跃响应曲线或称为液位飞升过程。
从图2-3可以看出①液位h的变化反映了由于液体流入量Q1与流出量Q2不等而引起单容水槽中蓄水(或泄水)的过程。②被控对象受到扰动后平衡被破坏，不需外来的调节作用，而依靠被调量自身变化使对象重新恢复平衡的特性，称为对象的自平衡特性。自平衡特性是调节对象最重要的动态特性之一。③液位h不能立即反应阀门1瞬间改变的Δμ0，而液位都要经过一段时间才慢慢变化到一个新的平衡状态。从反映输入这个角度来看，水槽这个被控对象是具有惯性的被控对象的惯性也是很重要的一种动态特性。④水槽在受到流入侧的阶跃扰动后，其液位h开始的变化速度较大，随后速度越来越小，
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最后趋于零。?
?
?0
???0t0QtQ1dGQ2 Q10Q20t t0h h(?)dh h0t t0 图2-3 有自平衡单容对象的阶跃响应曲线
（二）?传递函数?
由于我们讨论的是动态特性，在以后讨论中均设Q10?，Q20?及 h0，μ0为起 始零值即Q10＝0，Q20＝0，h0＝0；μ0＝0那么Q1，Q2及h都代表它们 偏离初始平衡状态的变化值即h＝Δh，Q1＝ΔQ1，Q2＝ΔQ2。?
根据物质平衡原理可以写出下列方程?
(Q1－Q2)dt＝Fdh (2—1)?
式中
F—水槽截面积或称水液)溶。? 式(2—1)表示dt时间间隔内，水槽中的存水量使水位变化dh。? 由上述分析可得? Fdh?Q1?Q2 dt控制阀开度μ与流入量Q1之间的关系满足下列关系式?
Q1＝Kμμ (2—2)?
Kμ—控制阀的比例系数，μ—阀门开度。? 当流出侧阀门2的开度不变，当水槽液位h变化(如上升)时，流出阀进出口的水压变化，因而引起流出量Q2变化。当液位变化范围较小时，阀门阻力Rs可近似看成常数即?
RS?h (2—3) Q2式中?Rs—阀门2阻力称为液阻。? 将式(2—2)、(2—3)代入式(2—1)可得?
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FRS将上式写成标准形式?
Tdh?h?K?RS? (2—4)? dtdh?h?K? (2—5)? dt T＝FRs (2—6)?
K＝KμRs (2—7)? 式中 T—对象的惯性时间常数
K—对象的放大系数
式(2—4)是描述水槽对象动态特性的微分方程，为一阶线性方程。在初始条件?
ht?t0?h0?0
阶跃输入μ(t)＝Δμ0时的解为：?
－t/T
h(t)=K2Δμ0（1－e） (2—8)?
由式(2—8)绘出的曲线就是图2—3所示阶跃响应曲线(即飞升曲线)。式(2—8)描述了单容水槽在流入侧阀1阶跃变化Δμ0后水槽液位h的变化规律。? 对式(2—5)两边分别取拉普拉斯变换,则单容水槽的传递函数为?
H(s)k? (2—9)? ?(s)TS?1（三）特征参数?
式(2—5)和式(2—9)中的时间常数T及放大系数K是描述有自平衡能力单容对象动态特性的两个特征参数。? 1．放大系数K?
把t→∞代入式(2—8)，则?
h(∞)＝KΔμ0 (2—10)?
式(2—10)说明，当t→∞时液位h已达到新的稳态值h(∞)。那么K在数值上等于对 象的输出稳态值与输入稳态值之比即K＝h(∞)/Δμ0。它的意义也可以这样来理解：如果有一定的输入变化量Δμ0，通过对象就被放大了K倍变为输出稳态值h(∞)，所以我们称K为对象的放大系数。它表示对象受到输入作用后，重新达到平衡时的性能，是不随时间而变的，所以是对象的静态特性，有时也叫静态放大倍数。按照输入量是来自控制阀的还是外界干扰量，相应的放大系数称为对象调节通道的放大系数和干扰通道的放大系数。?
调节通道放大系数定义是：?
?K?h(?) ??0式中 h(∞)—被控参数以起始稳态为基准的最后稳态值；?
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Δμ0—控制阀开度阶跃变化量。? 对象干扰通道的放大系数定义是：?
?K0??h(?) ??式中 Δλ—外界的干扰量。?
对象放大系数选择原则要视具体情况而定。在热工生产过程中，K一般要求适当选大些，这样控制灵敏，效果显蓍，但K0λ希望小些，因为这样干扰对被控参数的影响小，干扰容易被克服。事实上，对K0λ的选择余地并不大，因它决定于工艺过程的实际情况。K却不然，在有些复杂的被控对象中，其调节通道的放大系数根据实际需要往往还是变化的。? 2．时间常数T?
将t＝Ｔ代入式(2—8)就可以求得：?
－1
h(T)＝KΔμ0(1－e?)＝0.632KΔμ0 (2—11)? 将式(2—10)代入式(2—11)得：?
h(T)＝0.632h(∞)?
这就是说，当对象受到阶跃输入后，输出(被调量)达到新的稳态值的63.2%所需的时间，就是时间常数T。显然，时间常数越大，被调量的变化越慢，达到新的稳态值所需的时间也越长，也就表明对象的惯性越大，输出对输入的反应越慢。反之，T越小，表示对象惯性越小，输出对输入的反应越快。用上述方法我们可以从阶跃响应曲线上求出T如图2—4所示。
在输入作用加入的瞬间，液位h的变化速度是多大呢?将式(2—8)对时间t求导得：?
dhK??0?T??e? dtTt?
图2-4单容对象的阶跃响应曲线
??0thTAB0.632K??0h(?)?K??0t由上式可以看出，在过渡过程中，被调量的变化速度是越来越慢的，当t=0时，有
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?
dhdtt?0?K??0h（?） (2—12)? ?TT式(2—12)所表示的是t=0时液位变化的初始速度。从图2—4所示的响应曲线来看，
dh/dt｜t＝0?就等于曲线在起始点切线的斜率。由于切线的斜率为h(∞)/T，从图2—4可以看出，这条切线在新的稳态值h(∞)上截得的一段时间AB正好等于T。因此，时间常数T的物理意义可以样来理解：当对象受到阶跃输入后，被调量如果保持初始速度变化，达到新的稳态值所需的时间就是时间常数即?
T?K??0 dht?0dt被调量在t＝０时的变化速度最大，随着时间的增长被调量变化的速度是越来越小的。所以被调量变化到新的稳态值所需要的时间，要比T长得多。理论上说，需要无限长的时间才能达到稳态值。从式(2—8)可以看出，只有当t＝∞时h＝KΔμ0，但是当t＝3T时，代入式(2—8)，便得：?
－
?h(3T)＝ＫΔμ0(1－e3)＝0.95KΔμ0＝0.95h(∞) (2—13) 这就是说，从加入输入作用后，经过3T时间，液位已经变化了全部变化范围的95%，这时，可以近似地认为动态过程基本结束。
3．自平衡率?
以上介绍了控制对象的自平衡特性，那么这种特性是怎样产生的呢?影响自平衡特性的因素又是什么呢?现仍以图2—2为例来研究这个问题。?
假如Q2流出侧阻力为无限大(相当把阀门关死)，当出现流入量扰动后，水位无论如何变化，对流出量没有丝毫影响，Q2不会重新等于Q1，当然对象也就永远不能自动恢复平衡。这种对象的自平衡能力为零。?
假如Q2流出侧阻力为零(相当于把阀门全打开，并且管道粗而短)，当出现流入量扰动即 Q1增大，水位刚有上升的趋势时，多流进水槽的水量毫无受阻地从流出侧全部流出，即流出量Q2时刻随着Q1的变化而同步变化，始终维持着Q1＝Q2的平衡状态，水位也始终保持在某一位置上。这种对象的自平衡能力为无限大。一般对象的自平衡能力的大小用自平衡率ρ来表示，其定义为?
??d? dh由于dμ/dh在液位h变化过程中是一变数，因此自平衡率在响应过程中不为常数。一般用稳态时的自平衡率来近似代替即?
??0????
h(?)自平衡率的物理意义是被控参数每变化1个单位所能克服的扰动量。? 由图2—4可以看出h(∞)＝KΔμ0所以，该对象的自平衡率为
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