山东省实验中学2015届高三上学期期中数学试卷（理科）
一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意）
x
1．（5分）集合A={y∈R|y=2}，B={﹣1，0，1}，则下列结论正确的是（） A． A∩B={0，1} B． A∪B=（0，+∞） C． （?RA）∪B=（﹣∞，0） D． （?RA）∩B={﹣1，0} 2．（5分）“2a＞2b”是“lna＞lnb”的（） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
3．（5分）已知α∈（0，π），且 A．
B．
，则cos2α的值为（） C．
D．
4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x+1）为偶函数，则实数a的值可以是（） A．
B． 2
C． 4
D．6
5．（5分）设函数f（x）=sinxcos2x图象的一个对称轴是（） A．
6．（5分）若方程|x+4x|=m有实数根，则所有实数根的和可能是（） A． ﹣2、﹣4、﹣6 B． ﹣4、﹣5、﹣6 C． ﹣3、﹣4、﹣5 D．﹣4、﹣6、﹣8 7．（5分）要得到一个奇函数，只需将函数f（x）=sin2x﹣的图象（） A． 向左平移 C． 向右平移
8．（5分）定义在R上的偶函数满足f（+x）=f（﹣x）且f（﹣1）=1，f（0）=﹣2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f的值为（） A． 2 B． 1 C． 0 D．﹣2 9．（5分）在△ABC中，若sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），则△ABC的形状一定是（） A． 等边三角形 B． 直角三角形
2
B． x=0 C． D．
个单位 个单位
B． 向右平移D． 向左平移
个单位 个单位
C． 钝角三角形
10．（5分）函数f（x）=
+
D． 不含60°角的等腰三角形 的性质：
①f（x）的图象是中心对称图形； ②f（x）的图象是轴对称图形； ③函数f（x）的值域为[，+∞）； ④方程f（f（x））=1+有两个解，上述关于函数的性质说法正确的是（） A． ①③ B． ③④ C． ②③ D．②④
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上. 11．（5分）定积分
12．（5分）如果f（tanx）=sinx﹣5sinxcosx，那么f（2）=．
13．（5分）函数f（x）=xsinx+cosx+x，则不等式f（lnx）＜f（1）的解集为． 14．（5分）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为． 15．（5分）设函数f（x）=lnx，有以下4个命题： ①对任意的x1、x2∈（0，+∞），有f（
）≤
；
2
2
（2x+e）dx．
x
②对任意的x1、x2∈（1，+∞），且x1＜x2，有f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1； ③对任意的x1、x2∈（e，+∞），且x1＜x2，有x1f（x2）＜x2f（x1）； ④对任意的0＜x1＜x2，总有x0∈（x1，x2），使得f（x0）≤其中正确的是（填写序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16．（12分）已知函数有f（x）=sinxcosx+（1）求f（
）及f（x）的单调递增区间；
，
]的最值．
（cosx﹣sinx）．
2
2
．
（2）求f（x）在闭区间[﹣
17．（12分）设命题p：函数f（x）=x﹣ax﹣1在区间[﹣1，1]上单调递减；命题q：函数y=ln2
（x+ax+1）的值域是R．如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．
3
18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；
（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．
19．（12分）已知数列{an}满足，an+1+an=4n﹣3（n∈N）． （Ⅰ）若数列{an}是等差数列，求a1的值； （Ⅱ）当a1=2时，求数列{an}的前n项和Sn．
20．（13分）已知函数f（x）=ax+bx+cx+dx+e的图象关于y轴对称，其图象过点A（0，﹣1），且在x=
处有极大值．
4
3
2
*
．
（1）求f（x）的解析式；
2
（2）对任意的x∈R，不等式f（x）﹣tx﹣t≤0恒成立，求t的取值范围．
21．（14分）已知函数f（x）=x2
（1）求实数a的取值范围； （2）证明：f（x2）
．
在（﹣1，0）上有两个极值点x1，x2，且x1＜
山东省实验中学2015届高三上学期期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意） 1．（5分）集合A={y∈R|y=2}，B={﹣1，0，1}，则下列结论正确的是（） A． A∩B={0，1} B． A∪B=（0，+∞） C． （?RA）∪B=（﹣∞，0） D． （?RA）∩B={﹣1，0}
考点： 交集及其运算；并集及其运算；补集及其运算；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．
专题： 计算题．
x
分析： 本题利用直接法，先利用指数函数的值域性质化简集合A，再求CRA，最后求出A、B的交、并及补集等即可．
x
解答： 解：∵A={y∈R|y=2}={y∈R|y＞0}， ∴CRA={y∈R|y≤0}， 又B={﹣1，0，1}， ∴（CRA）∩B={﹣1，0}． 故选D．
点评： 这是一个集合与函数的性质交汇的题，本小题主要考查集合的简单运算．属于基础题之列． 2．（5分）“2a＞2b”是“lna＞lnb”的（） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 简易逻辑．
分析： 根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 解答： 解：由2a＞2b得a＞b， 由lna＞lnb得a＞b＞0，
即“2a＞2b”是“lna＞lnb”的必要不充分条件， 故选：B
点评： 本题主要考查充分条件和必要条件判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．
3．（5分）已知α∈（0，π），且 A．
B．
，则cos2α的值为（） C．
D．
考点： 二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系． 专题： 三角函数的求值．
分析： 利用条件，两边平方，可得sin2α=﹣，进而可求cosα﹣sinα，利用二倍角的余弦公式可得结论． 解答： 解：∵∴1+2sinαcosα=，
∴sin2α=﹣，且sinα＞0，cosα＜0， ∴cosα﹣sinα=﹣
=﹣
， ．
，α∈（0，π），
∴cos2α=（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=﹣
故选C．
点评： 本题考查用二倍角的余弦公式，考查同角三角函数的平方关系，考查学生的计算能力，属于中档题． 4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x+1）为偶函数，则实数a的值可以是（） A．
B． 2
C． 4
D．6
考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 函数f（x+1）为偶函数，说明其定义域关于“0”对称，函数f（x）的图象是把函数f（x+1）的图象向右平移1个单位得到的，说明f（x）的定义域（3﹣2a，a+1）关于“1”对称，由中点坐标公式列式可求a的值．
解答： 解：因为函数f（x+1）为偶函数，则其图象关于y轴对称，
而函数f（x）的图象是把函数f（x+1）的图象向右平移1个单位得到的，所以函数f（x）的图象关于直线x=1对称．
又函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），所以（3﹣2a）+（a+1）=2，解得：a=2． 故选B．
点评： 本题考查了函数图象的平移，考查了函数奇偶性的性质，函数的图象关于y轴轴对称是函数为偶函数的充要条件，此题是基础题． 5．（5分）设函数f（x）=sinxcos2x图象的一个对称轴是（）
A．
考点： 专题： 分析： 解答： ∴f（﹣
B． x=0 C． D．
余弦函数的对称性．
计算题；三角函数的图像与性质．
利用函数的对称性对A、B、C、D四个选项逐一判断即可． 解：∵f（x）=sinxcos2x，
）=sin（﹣）cos2×（﹣）=1≠f（0）=0，
对称，排除A；
∴函数f（x）=sinxcos2x图象不关于x=﹣
∵f（﹣x）=sin（﹣x）cos2（﹣x）=﹣sinxcos2x=﹣f（x），
∴f（x）=sinxcos2x为奇函数，不是偶函数，故不关于直线x=0对称，排除B； 又f（
）=sin
cos（2×
）=﹣1≠f（0）=0，故函数f（x）=sinxcos2x图象不关于x=
对
称，排除C；
又f（π﹣x）=sin（π﹣x）cos2（π﹣x）=sinxcos2x=f（x） ∴f（x）关于直线x=
对称，故D正确．
故选D．
点评： 本题考查三角函数的对称性，考查排除法在选择题中的应用，属于中档题．
6．（5分）若方程|x+4x|=m有实数根，则所有实数根的和可能是（） A． ﹣2、﹣4、﹣6 B． ﹣4、﹣5、﹣6 C． ﹣3、﹣4、﹣5 D．﹣4、﹣6、﹣8
考点： 函数的零点与方程根的关系． 专题： 函数的性质及应用．
2