构造函数函数t（x）=（x＞e），利用导数求得其单调性后判断③；
取两个特殊的x1，x2，求出
的范围后判断④．
解答： 解：f（x）=lnx是（0，+∞）上的增函数， 对于①，由f（
）=
，
=，
∵，∴f（）≥，命题①错误；
，
对于②，设函数g（x）=x﹣lnx（x＞1），
∴g（x）=x﹣lnx在（1，+∞）上为增函数，
∵x1＜x2，则有x2﹣lnx2＞x1﹣lnx1，即f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1，命题②正确； 对于③，令函数t（x）=
（x＞e），
＜0，
∴t（x）为（e，+∞）上的减函数， 由x2＞x1＞e，得
，即x1f（x2）＜x2f（x1），命题③正确；
对于④，令e=x1＜x2=e，得
2
==＜1，
∵x0∈（x1，x2），∴f（x0）＞f（x1）=1，不满足f（x0）≤
，命题④错
误．
故答案为②③．
点评： 本题考查对数函数的单调性，训练了利用导数研究函数的单调性方法，构造函数是解答该题的关键，是中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16．（12分）已知函数有f（x）=sinxcosx+（1）求f（
）及f（x）的单调递增区间；
，
]的最值．
（cosx﹣sinx）．
2
2
（2）求f（x）在闭区间[﹣
考点： 两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；三角函数的最值． 专题： 三角函数的图像与性质．
分析： （1）利用二倍角公式及两角和的正弦化简，然后直接取x=的单调性求得f（x）的单调递增区间；
求值，结合复合函数
（2）由x的范围求出化简后函数相位的范围，进一步求得f（x）在闭区间[﹣解答： 解：f（x）=sinxcosx+=（1）由
∴f（x）的单调递增区间为（2）∵x∈[﹣∴则sin（2x+
）∈，
]，
， ．
，解得：
；
=
（cosx﹣sinx）
=sin（2x+．
）．
2
2
，]的最值．
．
∴f（x）的最小值为﹣，最大值为1．
点评： 本题考查了两角和与差的正弦，考查了与三角函数有关的复合函数的单调性，考查
了三角函数的最值，是中档题．
17．（12分）设命题p：函数f（x）=x﹣ax﹣1在区间[﹣1，1]上单调递减；命题q：函数y=ln2
（x+ax+1）的值域是R．如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．
考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 综合题．
分析： 由p为真命题，能够推导出a≥3．再由q为真命题，能够推导出a≤﹣2或a≥2．由题
3
意P和q有且只有一个是真命题，所以p真q假??a∈?，p假q真
??a≤﹣2或2≤a＜3．由此能够得到a的取值范围．
2
2
解答： 解：p为真命题?f'（x）=3x﹣a≤0在[﹣1，1]上恒成立?a≥3x在[﹣1，1]上恒成立?a≥3
q为真命题?△=a﹣4≥0恒成立?a≤﹣2或a≥2
2
由题意P和q有且只有一个是真命题p真q假??a∈?，p假q真
??a≤﹣2或2≤a＜3
综上所述：a∈（﹣∞，﹣2]∪[2，3）
点评： 本题考查命题的真假判断和应用，解题时要注意合理地进行等价转化．
18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=
．
（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；
（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．
考点： 余弦定理的应用．
分析： （Ⅰ）先通过余弦定理求出a，b的关系式；再通过正弦定理及三角形的面积求出a，b的另一关系式，最后联立方程求出a，b的值．
（Ⅱ）通过C=π﹣（A+B）及二倍角公式及sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求出
∴sinBcosA=2sinAcosA．当cosA=0时求出a，b的值进而通过absinC求出三角形的面积；当cosA≠0时，由正弦定理得b=2a，联立方程解得a，b的值进而通过absinC求出三角形的面积． 解答： 解：（Ⅰ）∵c=2，C=∴a+b﹣ab=4，
又∵△ABC的面积等于∴∴ab=4 联立方程组
，解得a=2，b=2
，
2
2
，c=a+b﹣2abcosC
222
，
（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A=4sinAcosA， ∴sinBcosA=2sinAcosA 当cosA=0时，
，
，
，
，求得此时
当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a， 联立方程组
解得
，
．
所以△ABC的面积综上知△ABC的面积
点评： 本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．
19．（12分）已知数列{an}满足，an+1+an=4n﹣3（n∈N）． （Ⅰ）若数列{an}是等差数列，求a1的值； （Ⅱ）当a1=2时，求数列{an}的前n项和Sn．
考点： 数列递推式；等差数列的通项公式；数列的求和． 专题： 计算题． 分析： （1）根据数列{an}是等差数列，写出通项an=a1+（n﹣1）d，an+1=a1+nd．，结合an+1+an=4n﹣3，可求a1的值； （2）分类讨论：n为奇数，Sn=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（an﹣1+an）； n为偶数，Sn=a1+a2+a3+…+an=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an﹣1+an）．进行分组求和即可． 解答： 解：（1）若数列{an}是等差数列，则an=a1+（n﹣1）d，an+1=a1+nd． 由an+1+an=4n﹣3，得（a1+nd）+[a1+（n﹣1）d] =4n﹣3，即2d=4，2a1﹣d=﹣3，
*
解得，．…（7分）
=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（an﹣1+an）
（2）①当n为奇数时，
==…（11分）
②当n为偶数时，Sn=a1+a2+a3+…+an=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an﹣1+an）=1+9+…+（4n﹣7）=
．（14分）
点评： 本题以数列递推式为载体，考查等差数列公式的运用，考查分组求和．
20．（13分）已知函数f（x）=ax+bx+cx+dx+e的图象关于y轴对称，其图象过点A（0，﹣1），且在x=
处有极大值．
4
3
2
（1）求f（x）的解析式；
2
（2）对任意的x∈R，不等式f（x）﹣tx﹣t≤0恒成立，求t的取值范围．
考点： 利用导数研究函数的极值；二次函数的性质． 专题： 综合题；导数的综合应用．
432
分析： （1）先根据函数f（x）=ax+bx+cx+dx+e的图象关于y轴对称，求出b和d的值，
再根据函数的图象经过点（0，﹣1）求出e，然后根据在x=处有极大值，建立一等量关
系，再根据切点在曲线上建立一等式关系，解方程组即可求得结果；
2
（2）根据对任意x∈R，不等式f（x）﹣tx﹣t≤0恒成立，分离参数，进而利用基本不等式即可求得结果．
解答： 解：∵f（x）关于y轴对称，∴f（x）为偶函数， 即f（x）=f（﹣x），
∴a（﹣x）+b（﹣x）+c（﹣x）+d（﹣x）+e=ax+bx+ax+dx+e 得b=d=0，
图象过A（0，﹣1）得e=﹣1，
42
∴f（x）=ax+cx﹣1 又f（x）在x=∴
处有极大值， 且
，
432432
解得a=﹣2，c=3，
42
∴f（x）=﹣2x+3x﹣1；
2
（2）∵f（x）≤t（x+1）， ∴∵即
的取等号，
，当且仅当
=
∴t的取值范围为[7﹣4，+∞）．
点评： 本题注意考查待定系数法求函数的解析式，以及分离参数的方法解决函数恒成立的问题，在解题时注意导数的几何意义的应用和基本不等式求最值应注意的问题，考查灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属中档题．
21．（14分）已知函数f（x）=x2
（1）求实数a的取值范围； （2）证明：f（x2）
．
在（﹣1，0）上有两个极值点x1，x2，且x1＜
考点： 利用导数研究函数的极值． 专题： 综合题；导数的综合应用．
2
分析： （1）求导数知方程2x+2x+a=0在（﹣1，0）上有两不等实根，可得
，即可求实数a的取值范围；
（2）确定ax2＞x2，可得f（x2）=x2+x2+ax2+1＞x2+x2+x2+1，设h（x）=x+x+x+1，x∈（﹣，0），h（x）在（﹣，0）递增，即可证明结论． 解答： （1）解：∵f（x）=
，
323232
∴f′（x）=2x+2x+a，
2
由题意知方程2x+2x+a=0在（﹣1，0）上有两不等实根， 设g（x）=2x+2x+a，其图象的对称轴为直线x=﹣，
2
2
故有，解得0＜a＜…（6分）
（2）证明：由题意知x2是方程2x+2x+a=0的大根，从而x2∈（﹣，0）， 由于0＜a＜，∴ax2＞x2，
∴f（x2）=x2+x2+ax2+1＞x2+x2+x2+1， 设h（x）=x+x+x+1，x∈（﹣，0）， h′（x）=2（x+）+＞0 ∴h（x）在（﹣，0）递增， ∴h（x）＞h（﹣）=
，即f（x2）
成立…（13分）
23
23
2
3
2
2
点评： 本题考查利用导数研究函数的极值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，有难度．