6指数模型及其应用
6.1单指数模型
在马科维茨的均值-方差模型的讨论中，各资产间的协方差我们可以作任何假定，它们可以是由资产间存在的任意数量和种类的关系产生，而且在计算风险时所用的公式
?2(rP)?XTVX中，我们必须对所选择的资产间的协方差进行估计。如果资产数目太大，
我们就必须进行大量的协方差估计，使得在计算任一给定投资组合的方差时，需要花费大量时间。这是使用上节中的马柯维茨模型所存在的问题。
在E(rP)??xE(r)，?iii?1n2P??x???2i2ii?1nni?1k?1,k?i?xx?iknik?i?k公式中，这里的数学公
式告诉我们，如果投资者考虑的是由n个资产构成的组合，那么在求解有效资产组合时，需要掌握三个方面的基本数据：
（1）每一资产的平均收益率E(ri)，共需n个； （2）每一资产收益方差?i2，共需n个；
（3）每一对资产之间的相关系数?ik，共需n*(n-1)/2个。
总计需要2n+ n*(n-1)/2个基础性数据。对于每天追踪30~50种股票的投资机构来说，每天需要处理495~1325个数据；对于每天追踪150-250种股票的投资机构来说，每天需要处理11475~31625个数据；显然，这对各种投资者来说都是一件非常耗时的事情。那么，如何使投资组合理论和方法有效实用，简便易行，真正为金融财务工作者服务，就成了金融财务经济学家极为关心的问题。单指数模型能帮助我们克服这一困难，使得确定投资组合的方差计算过程变得简单。
在股票市场中，我们发现，当市场投资组合（如股票市场指数）的收益率显著上升或下降时，几乎所有股票的收益率都随之上升或下降，虽然可能有一些股票的收益率比另一些股票的收益率上升或下降得要快，但总的来说都是呈相同趋势变化。这意味着，市场投资组合收益率的变化能充分反映各种资产的共同变化趋势。因此对各个资产收益率之间的协方差的计算，可以用每一资产收益率与市场投资组合收益率之间的协方差代替。单指数模型就是在假定资产的收益率只受市场投资组合即单指数收益率的影响下确定投资组合的权重。
设资产的收益率具有简单线性结构，即其收益率r和市场投资组合收益率rM具有关系式
r????rM?e
其中?，?为待估参数，e为残差。
假定市场中有n个资产，则按上述结构，第i个资产的收益率满足
rit??i??irMt?eit，i=1，2，…，n；t=1，2，…，N
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在单指数模型的讨论中，假定影响各个资产收益率的因素有两类： 第一类为宏观因素。例如通货膨胀率，主要利率的变化、就业率等，在任何情况下，这些因素的影响都是相当大的，几乎所有企业，所有公司都不同程度地受到它们的影响，会引起资产价格总体水平的变化，再通过市场的推动，会影响到市场投资组合收益率水平，进而影响到各资产的收益率。因此宏观因素影响整个市场的收益率。
第二类为微观因素。例如一种新产品的推出或老产品的淘汰，局部地区或一个公司主要领导的变化，它们都只对个别企业或公司产生影响而不会影响到市场投资组合的收益率，从而使个别资产的收益率偏离市场特征线，出现残差。所以微观因素仅影响个别资产的收益率。
其他类型的因素在单指数模型中不予考虑。例如行业因素，某些事件对某一行业内的所有企业产生影响，但却不足以影响到整个经济形势或市场投资的收益率。虽然这类因素也能引起残差，但我们假定残差只由微观因素所致。从而我们有如下假设，对资产i，j=1，2，…，n，有
cov(ei,ej)?0,(i?j)
同时我们还假定
E(ei)?0 （6-1） cov(ei,eM)?0 （6-2）
式6-1说明在任一时期残差可能为正，也可能为负，但期望值为零。 式6-2说明资产残差与市场投资组合收益率不相关，即它与市场投资组合是多头或空头(销售方)无关，不因为市场投资组合为多头(购入方)而成正值，也不因为市场投资组合为空头而为负值。
由单指数模型结构假设rit??i??irMt?eit和以上各项假设有
E(ri)??i??iE(rM) （6-3）
?2(ri)?E[ri?E(ri)]2?E[?i(rM?E(rM))?ei]2
??i2?2(rM)??2(ei) （6-4） cov(ri,rj)?E[(ri?E(ri))(rj?E(rj))]
?E[(?i(rM?E(rM))?ei)(?j(rM?E(rM))?ej)]
=?i?j?(rM) （6-5）
2cov(ri,rM)?E[(ri?E(ri))(rM?E(rM))]
?E[(?i(rM?E(rM))?ei)(rM?E(rM))]
=?i?2(rM) （6-5）
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从而
?i?cov(ri,rM) （6-6） 2?(rM)（6-3）给出了资产i的特征方程，（6-6）表明特征方程中的?系数即模型结构中rM的系数恰好为资产i的风险?系数。（6-4）给出了资产i收益率的方差，它刻画出了资产i的风险，（6-4）右边的第一项称为资产投资的系统风险。可以看做是与整个市场组合有关的风险。它是由市场投资组合中各资产的风险共同作用产生的。是所有资产无法避免的风险。（6-4）右边第二项称为残差方差或非系统风险，可以看做是由微观因素所带来的风险，它仅影响到个别资产，是可以通过投资组合而消去的风险。因此（6-4）
?2(ri)??i2?2(rM)??2(ei)表明：
资产总体风险=系统风险+非系统风险
另外，系统风险本身是两项之积，第一项是资产的?-因子，它表示资产收益率随市场投资组合的变动而受影响的程度，第二项是市场投资组合收益率的方差，表示市场投资组合收益率的变化幅度。第二项非系统风险，即残差方差，表示资产收益率由于偏离了特征线而引起的那部分方差的大小。在单指数模型的假设下，资产收益率的总体方差来自两部分：一部分是特征线的变动（即系统风险），另一部分是各点偏离特征线的程度(即非系统风险)。
下面考虑在单指数模型下投资组合的结构。
设满足单指数模型的n个资产的投资组合，则投资组合仍有单指数结构：
rP??xiri??xi?i?(?xi?i)rM??xiei（6-7）
i?1i?1i?1i?1nnnnE(rP)??xiE(ri)??xi?i?(?xi?i)E(rM)??xiE(ei)
i?1i?1i?1i?1nnnn简写为：RP??P??PRM?eP
?P?cov(rP,rM)/?(rM)?cov(?xiri,rM)/?2(rM)
2i?1n??xicov(ri,rM)/?(rM)??xi?i （6-8）
2i?1i?1nn由cov(，（6-2），有 ei,ej)?0(i?j)和（6-1）
?(rP)??(?xi?i?(?xi?i)rM??xiei)
22i?1i?1i?1nnn 14
?(?xi?i)?(rM)??xi2?2(ei) （6-9）
22i?1i?1nn在单指数模型下，（6-7）表明投资组合仍具有同类的单指数结构，（6-8）表明投资组合的?因子为各资产?因子的加权平均，而（6-9）表明投资组合的方差（风险）与单个资产类似，仍由两部分构成，第一项是由市场投资组合方差反映的系统性风险，第二项反映的是组合中各资产非系统风险的加权平均（以xi2为权重）。
通过以上讨论，在单指数模型下，马柯维茨组合投资模型为
min?(rP)?(?xi?i)?(rM)??xi2?2(ei) （6-10）
222i?1i?1nn?n??xi?1?i?1 s.t.?nnn?E(r)?xE(r)?x??(x?)E(r)???PiiiiiiM?i?1i?1i?1?根据上面的公式可知，利用单指数模型进行资产组合，所需要的估计量如下： （1）n个市场风险敏感测度?i； （2）n个独立的风险指标?2(ei)； （3）n个与市场指数无关的平均收益率?i； （4）1个市场组合平均收益率E(rM)； （5）1个市场组合风险指标?(rM)。
总计需要3n+2个基本数据。这样，对于每天追踪30~50种股票的投资者，每天需要收集处理92~152个数据；对于每天追踪150~250种股票的机构投资者来说，每天仅需要收集处理452~752个数据即可。这与马柯维茨组合投资模型相比，该模型所需要估计的数值大为减少，它只需要估计各资产的?i值、?i值、残差方差?2(ei)及市场投资组合的预期收益率E(rM)和方差?(rM)，这比估计各资产之间的协方差的工作量少一个数量级。但该模型的精确度不如马柯维茨组合投资模型，它依赖于各资产收益率的单指数结构假设的合理性。
226.2指数模型与分散化
由Ri??i??iRM?ei（Ri,RM为超额收益率，即Ri?ri?rf,RM?rM?rf）可知：
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RP??P??PRM?eP
现在要说明的是随着投资组合数量的增加，由非市场因素引起的投资组合风险变小了，而市场因素不变。
以等权重投资组合为例，权重xi?1/n，则
RP??xiRi?1/n?ri?1/n??i?(1/n??i)RM?1/n?ei
i?1i?1i?1i?1i?1nnnnnRP??P??PRM?eP与上式，发现：
非市场成分的敏感度：?P?1/n??i?1ni
n投资组合对市场成分的敏感度：?P?1/nn??i?1i
零均值变量：eP?1/n?ei?1i
222?P??P?M??2(eP)
222其中?P，不受投资组合分散化的影响。 ?M取决于?P和?Mn?(eP)??()2?2(ei)??2(e)
2i?11n1n?2(e)是公司特有成分方差的平均值，当n很大时，?2(eP)趋于0。
总之，随着分散化程度的增加，投资组合的总方差会接近系统风险。
6.3指数模型证券特征线的估计
给定ABC公司超额收益率的若干历史样本，将Ri??i??iRM?ei运用于ABC公司就可以得到如下的回归方程：
RABC??ABC??ABCRHS300?eABC
还可以得到此回归方程的拟合度R222ABC22?ABC?HS300 ?22?ABC?HS300??2(eABC)其中?ABC?HS300为公司ABC的系统风险，（公?2(eABC)为公司ABC的非系统风险司的特有风险）。
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