（1）按Di?E(ri)?rf?i2的值从大到小排列。
（2）计算C?[?M*?j?1n(E(rj)?rf)?j?(ej)22]/[1??M?n?j22j?1?(ej)]
（3）决定最优资产组合zi??i?2(ei)(Di?C*)
当Di?C*?0时，zi?0，表示第i种资产处于投资状态；当Di?C*?0时，zi?0表示第i种资产处于卖空状态；Di?C*?0，zi?0表示第i种资产不在投资者的最优组成组合中。
（4）当zi确定后，用下式确定投资比例：xi?zi?zj?1n
j例：有10种可选的资产，具体数据如表6-1所示。
2表6-1 确定最优资产资产需要的数据（rf=5%,?M?10）
1 A 证券(i) （1） 证券1 证券2 证券3 证券4 证券5 证券6 证券7 证券8 证券9 证券10 B 期望收益率 （2） 15 17 12 17 11 11 11 7 7 5.6 C 风险溢价 （3） 10 12 7 12 6 6 6 2 2 0.6 D E F ?i （4） 1 1.5 1 2 1 1.5 2 0.8 1 0.6 ?2(ei) （5） 50 40 20 10 40 30 40 16 20 6 Di （6） 10 8 7 6 6 4 3 2.5 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 表6-1是投资分析者通过排序决定最优资产组合所必须掌握的数据，这些数据可以从单指数
模型中获得，也可以由分析者主观估计得到。表中第6栏数据按从小到大排列。 计算如下：
nC??*2M?j?1E(rj)?rf?(ej)22?j/(1??M?第（3）栏?第（4）栏?第（5）栏)=j?1=4.31242 210?(e)第（4）栏的平方j?1j1?10?第（5）栏j?1n2j10?10计算结果如表6-2所示。
22
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 A C* B 4.31242 C 0.2 0.45 0.35 2.4 0.15 0.3 0.3 0.1 0.1 0.06 42.1 D 0.02 0.05625 0.05 0.4 0.025 0.075 0.1 0.04 0.05 0.06 9.7625 E z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 z9 z10 F 0.11375 0.13828 0.13438 0.33752 0.04219 -0.0156 -0.0656 -0.0906 -0.1156 -0.3312 0.14739 G x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 H 0.771749989 0.938192243 0.911696999 2.289884029 0.286235504 -0.10598098 -0.44520697 -0.61481996 -0.78443296 -2.2473179 1 计算公式如表6-3所示。 13 14 A C* B =C23/D23 C =(C3*D3)/E3 =(C4*D4)/E4 D =D3^2/E3 =D4^2/E4 E z1 F =D3/E3*(F3 -$B$14) =D4/E4*(F4 -$B$14) =D5/E5*(F5 -$B$14) =D6/E6*(F6 -$B$14) =D7/E7*(F7 -$B$14) =D8/E8*(F8 -$B$14) =D9/E9*(F9 -$B$14) =D10/E10*(F10 -$B$14) =D11/E11*(F11 -$B$14) =D12/E12*(F12 -$B$14) =SUM(F14:F23) G x1 H =F14/$F$24 15 =(C5*D5)/E5 =D5^2/E5 z2 x2 =F15/$F$24 16 =(C6*D6)/E6 =D6^2/E6 z3 x3 =F16/$F$24 17 =(C7*D7)/E7 =D7^2/E7 z4 x4 =F17/$F$24 18 =(C8*D8)/E8 =D8^2/E8 z5 x5 =F18/$F$24 19 =(C9*D9)/E9 =D9^2/E9 z6 x6 =F19/$F$24 20 =(C10*D10)/E10 =D10^2/E10 z7 x7 =F2/$F$24 21 =(C11*D11)/E11 =D11^2/E11 z8 x8 =F21/$F$24 22 =(C12*D12)/E12 =D12^2/E12 =1+10* SUM(D13:D22) z9 x9 =F22/$F$24 23 24 =10*SUM(C14:C22) z10 x10 =F23/$F$24 =SUM(H14:H23)
2不允许卖空情况下的投资组合最优化
当不允许卖空时，一般说来，需采用二次规划方法以求得最优资产组合。但是，有了单指数模型的假设，就可以相对容易地找出最优资产组合。由于对i=1,…,n，有非负约束zi?0，其解应满足库恩-塔克条件，因此式（6-13）变为：
23
E(ri)?rf?zi?(ei)??i?22M?z?jj?1nj?ui （6-17）
ziui?0,zi?0,i?1,2,...,n
在这里ui是为了保证非负性而添加的虚拟变量。如果zi?0，必须有ui=0；如果ui>0，必有zi?0。
当不允许卖空时，并非所有风险资产包含在最优的资产组合中，假定我们重新排列风险资产，使得前n1种风险资产有zi?0，即包含在最优资产组合中；而其余资产的zi?0，即不包含在最优资产组合中，那么（6-17）式可重写成：
E(ri)?rf?zi?(ei)??i?22M?z?jj?1nj,i?1,...,n1
2n?i?M由此可见，虚拟变量消失。所以，对这n1种风险资产：zi??2zj?j ?2?(ei)?(ei)j?11E(ri)?rf对上n1个方程的两边同乘以?i，并求和，得：
?zj?1n1j?j??j?1n1E(rj)?rf?(ej)j2?j??j?1n12?j2?M?(ej2z?)j?1nj?j
E(rj)?rf2?j/(1??M?n1上式对
?z?jj?1n1进行求解，可得：
?zj?1n1j?j??j?1n1?j2?(ej)22j?1?(ej))
2n?i?M代入式zi??2zj?j中，最后得到： ?2?(ei)?(ei)j?11E(ri)?rfzi??i?(ei)2[E(ri)?rf?i*2??M?j?1n1E(rj)?rf?(ej)E(rj)?rf222?j/(1??M?n1?j2?j222j?1?(ej)n1)]
令Di?则
E(ri)?rf?i?i，C??2M?j?1n1?(ej)?j/(1??2M??j?1(ej))
zi??(ei)2(Di?C*)
因为很少能找出一种?i为负的股票，所以当Di?C*?0时，zi?0。这样，根据股票的Di可以对所有的股票进行排序，并计算每种股票的Ci值：
24
Ci??2M?j?1iE(rj)?rf?(ej)2?j/(1??2M??j?1i?j22(ej))
C*等于这样一个Ci使得用于计算该Ci的所有资产的Di?Ci，而不用计算该Ci的所有资
产的Di?Ci。另外，如果已知某个资产包含在最优资产组合中，那么，较高的Di值的资产必定以正数包含在该最优资产组合中。
这样，决定那些资产包含在最优资产组合中的步骤为：
因此，在允许卖空的条件下，寻求最优资产组合的步骤如下：
（1）把所有可选资产的Di计算出来，然后按Di的大小从大到小进行排序。若某一值的资产包括在最优资产组合中，则Di值较大者就包含在最优组合中；若某一Di值的资产不包括在最优资产组合中，则D小于Di值的资产也不包含在最优组合中。因此，一种资产是否包含在最优资产组合中，只取决于这种资产的值的大小。 （2）对每种资产i，计算Ci值：Ci??M2?j?1iE(rj)?rf?(ej)22?j/(1??M?i?j22j?1?(ej))
（3）比较Di和相应的Ci，寻找某Ci值，使得用于计算该Ci的所有资产的Di值大于Ci，而不用计算该Ci的所有资产的Di小于Ci，用C表示具有这种特性的Ci。
（4）所有满足Di?C*的资产包括在最优资产组合中，而Di?C*的资产不包括在最优组合中。也就是说，最优资产组合由Di?C*的所有资产组合而成。 （5）当Di?C*时，第i种风险资产的最优比例为：zi?*?i?2(ei)zin(Di?C*)
（4）当zi确定后，用下式确定标准化的最优投资比例：xi?
j?zj?1例：表6-4是根据表6-1中的数据计算得到的。
表6-4 计算分界值C* 证券(i) Di?E(ri)?rf?i（2） 10 8 7 (E(ri)?rf)?i?(ei)（3） 2/10 4.5/10 3.5/10 2 ?i2?(ei)（4） 2/100 2 ?j?1i(E(rj)?rf)?i?2(ej)（5） 2/10 6.5/10 10/10 ??j?1i?j22(ei) Ci （7） 1.67 3.69 4.42 （1） 证券1 证券2 证券3 （6） 2/100 7.625/100 12.625/100 5.625/100 5/100 25
证券4 证券5 证券6 证券7 证券8 证券9 证券10 6 6 4 3 2.5 2 1 24/10 1.5/10 3/10 3/10 1/10 1/10 0.6/10 40/100 2.5/100 7.5/100 10/100 4/100 5/100 6/100 34/10 35.5/10 38.5/10 41.5/10 42.5/10 43.5/10 44.1/10 52.625/100 55.125/100 62.625/100 72.625/100 76.625/100 81.625/100 87.625/100 5.43 5.45 5.30 5.02 4.97 4.75 4.52 求不允许卖空时，最优资产组合比例。
具体计算步骤如下：
（1）表6-4中第2栏已按Di值的大小从大到小排列。
（2）现在利用表6-4的计算过程来说明决定Ci的具体步骤。先求表6-4中第一个资产的值
Ci，当i=1时：
(E(r1)?rf)?1?(e1)?2?2/10
?j?111E(rj)?rf)?iE(r1)?rf)?1?(ej)?j222?(e1)2?2/10
??j?1(ej)1??12?(e1)2?1/50?2/100
2E(rj)?rf?2210?1.67 Ci??M??j/(1??M?2)?22j?1?(ej)j?1?(ej)1?10?10012j10?6.52E(r)?r2?jf2210同理，当i=2时：Ci??M??/(1??)??3.69 ?jM227.625j?1?(ej)j?1?(ej)1?10?1002j10?依此类推，可以计算出所有的Ci值。
（3）由表6-4的第2栏和第7栏，可知，黑体数据满足Di?Ci，其余不满足。所以临界值C?5.45，所以最优资产组合由编号为1,2,3,4,5的资产组成。 （4）第i（i=1,2,3,4,5）种风险资产的最优投资比例为：
*z1?23.75?(10?5.45)?0.091;z2??(8?5.45)?0.095625; 100100520z3??(7?5.45)?0.0775;z4??(6?5.45)?0.110;
1001002.5z5??(6?5.45)?0.01375
100 26