例：有如下的数据样本
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 市场组合 rMt 0.0123424 -0.046799 0.0350208 -0.007361 -0.008848 0.0017187 0.0206777 -0.005059 -0.026554 0.0092167 0.0040057 证券1 r1t 0.0119892 -0.037532 0.0056085 -0.007861 -0.025115 0.009206 0.0707477 -0.017223 -0.062731 0.0126366 0.0214576 证券2 r2t 0.0235732 -0.02174 0.0091158 -0.00546 -0.064052 0.0038835 0.0800427 -0.005381 -0.080492 0.0096994 0.0172253 证券3 r3t 0.0200568 -0.010379 0.0253579 -0.011015 -0.014343 -0.076704 0.0580727 -0.006563 -0.111322 0.0164237 0.0303053 证券4 r4t 0.0060976 -0.010695 0.0212774 -0.028988 -0.075538 0.0066556 0.1008728 -0.022745 -0.08145 -0.025275 0.0152416 对市场组合和证券1作回归得到如下图结果：
从上图可以看出，其中拟合度R?0.556581?在?2(ri)??i2?2(rM)??2(ei)中：
；?2(ei)?0.005404 ?2(ri)?0.012186；?i2?2(rM)?0.00678320.006783
0.012186?1??0.00047;?1?1.170407
对于证券2，证券3，证券4可做类似的讨论。
拟合图如下图所示。
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X Variable 1 Line Fit Plot0.10.050-0.06-0.04-0.02-0.0500.02-0.1X Variable 10.04Y预测 YY
6.4多指数模型
在单指数模型中，我们假定所有资产的收益率都只受一个市场投资组合，即市场指数的影响，因此资产收益率之间的协方差只受市场因素的影响。这时，描述资产收益率采用的单指数模型为
rj??j??jrM??j
它只涉及到一个市场指数的收益率rM。 然而，在更多的情况下，资产的收益率要受到包括市场因素在内的多种因素共同作用的影响，使得影响协方差的因素有多个。这些因素，可能是一系列经济指数，如通货膨胀率、失业率、利率、工业增长率等。设有N个影响因素，把这些因素作为指数，它们的收益率分别用I1,I2，...，IN表示。
显然，如果各指数收益之间不存在相关关系，那么它们就可以直接用于资产分析。但是现在经济活动中的各指数之间，往往存在某种程度的相关性，这些需要我们剔除它们之间的相关性。为简化问题，在下面的讨论中，我们假定各指数收益率之间不存在相关性。
设任一资产j的收益率可以表示成如下的多指数模型
rj??j???jiIi??j
i?1N其中Ii是影响资产收益率的第i个指数的收益率（i=1,2,..,N），?ji是度量第i个指数收益率变化对资产j收益率影响的因子，?j是资产j与各指数无关的平均收益率，?j是资产j收益率与各指数无关的残差。
在多指数模型中，假设
E(?j)?0
cov(Ii,Ij)?0,(i?j,i,j?1,2,...,N)
cov(?j,Ii)?0,i?1,..,N （6-12）
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cov(?j,?k)?0,(j?k)
在上述假设下，类似单指数模型，我们可以得到
E(rj)??j???jiE(Ii)
i?1N?jk?cov(rj,rk)???ji?ki?2(Ii)
i?12?(rj)???ji?2(Ii)??2(?j) 2i?1NN同单指数模型一样，对于投资组合P?(x1,x2,...,xn)，有
rP??P???PiIi??P
i?1NE(rP)??P???PiE(Ii)
i?12?(rP)???Pi?2(Ii)??2(?P) 2i?1NN其中?P?n?x?jj?1nj，?Pi??x?jj?1nnji,j?1,...,n
2?P??xj?j，?(?P)??x2?(?j) j2j?1j?1因此在多指数模型下，投资组合收益率的方差为
2?(rP)??(?xj?ji)?(Ii)??x2j?(?j) 222i?1j?1j?1Nnn这时，马柯维茨组合投资模型为
2min?(rP)??(?xj?ji)?(Ii)??x2j?(?j)
222i?1j?1j?1Nnn?n??xj?1?j?1s.t.?n nNn?xE(r)?x??(x?)E(I)?r0????jjjjjjiiP?j?1j?1i?1j?1?在多指数模型中，使用较广泛的情形是资产收益率依赖于一个市场指数M和一个
行业指数g的模型。即N=2的情形，此时
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E(rP)??P??PME(rM)??PgE(rg)
22?2(rP)??PM?2(rM)??Pg?2(rg)
其中
?PM??xj?jM，?Pg??xj?jg，
j?1j?12?(?P)??x2j?(?j) 2j?1nnn用来解释资产收益率之间相关因素的指数有4~5个时，构造的多指数模型效果较好。
在使用多指数模型时，所需要估计的数据为：
n个资产的预期收益率?j,j?1,2,...,n; n个资产的残差方差?(?j),j?1,2,...,n;
nN个市场指数的?因子?ji,j?1,2,...,n;i?1,2,...,N; N个指数的预期收益率E(Ii),i?1,2,...,N; N个指数收益率的方差?(Ii),i?1,2,...,N.
总计需要（2+N）?n+2?N个基本数据。这样，在给定目标预期收益率下，我们就可以构造优化模型，可以求出投资组合的权重，使其具有最小的投资组合方差。
26.5应用单指数模型求最优投资组合
1允许卖空情况下的投资组合最优化
假设有n种风险资产，这n种风险资产的期望收益率是e?(E(r1),...,E(rn))T，
?1?(1,...,1)T是分量均为1的列向量，n种风险资产的投资比例是X?(x1,...xn)T，其余的??T资金1??xi?1?X1投资于风险资产。如果1?X1?0，投资者为贷款人，则以无风
nTi?1?险利率rf贷出一正比例的资金；如果1?X1?0，投资者为借款人，则以无风险利率rf借
T入资金，并用此收入增加在n种风险资产上的投资，这时，对于给定的期望收益率E(rP)，在允许卖空的情况下求解有效边界的二次规划方程是：min??Ts.t.Xe?(1?X1)rf?E(rP)
T1TXVX，2 20
根据分离定理，将n种风险资产的投资比例X?(x1,...xn)T单位化后的投资比例就是最优资产组合在n种风险资产上的投资比例。利用拉格朗日乘子，构造如下的拉格朗日函数：
?1TT?TL?XVX??[E(rP)?Xe?(1?X1)rf]
2??拉格朗日函数对X求导数，并令其等于0，可得N个方程：VX??(e?rf1)?0。
X定义Z???，方程两边同除以?，可得：e?rf1?VZ
对于i?1,...,n，写成n个方程组的形式就是：
E(ri)?rf?zi???zj?ij
2ij?1j?in将前面介绍的单指数模型中的?i??i?M??(ei),?ij??i?j?M代入上式
22222E(ri)?rf?zi??2i2M?zi?(ei)??zj?i?j?2j?1j?in2M?zi?(ei)??i?22M?z?jj?1nj （6-13）
2n?i?M求得zi??2?zj?j （6-14）
?2(ei)?(ei)j?1E(ri)?rf对上n个方程的两边同乘以?i，并求和，得：
?zj?1nj?j??j?1nE(rj)?rf?2(ej)j?j??n2?j2?M2j?1?(ej)n?zj?1nj?j
n上式中对
?z?jj?1n进行求解，可得：
?zj?1j?j??j?1E(rj)?rf?(ej)n2?j/(1??2M??j?1n?j22(ej))
将上式代入式（6-14），最后得到：
zi??i?(ei)2[E(ri)?rf?i*2??M?j?1nE(rj)?rf?(ej)222?j/(1??M??j22j?1?(ej)n)] (6-15)
令Di?E(ri)?rf?i?i，C?[?2M?j?1n(E(rj)?rf)?j?(ej)]/[1??2M??j?1?j22(ej)]，则
zi??(ei)2(Di?C*) （6-16）
将上式（6-16）标准化，即可得标准化的权数xi。
因此，在允许卖空的条件下，寻求最优资产组合的步骤如下：
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