1．(2016·天津，12，中)如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE＝2AE＝2，BD＝ED，则线段CE的长为________．
1．【解析】 设圆的圆心为O，如图，连接OD，AC，可得△BOD∽△BDE， ∴BD2＝BO·BE＝3， ∴BD＝DE＝3. ∵△AEC∽△DEB， AECE1EC∴＝，即＝， DEBE3223∴EC＝. 3
【答案】
23 3
2．(2014·广东，15，易)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则
△CDF的面积
＝________.
△AEF的面积
2．【解析】 ∵EB＝2AE， ∴AE1
＝. AB3
又∵AB?DC， ∴△AEF∽△CDF，且△CDF的面积∴＝9. △AEF的面积【答案】 9
3．(2015·湖北，15，中)如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC＝3PB，AB
则＝________． AC
AE1＝. DC3
3. 【解析】 设PB＝1，则BC＝3. ∵PA2＝PB·PC， ∴PA＝2.
∵△PBA∽△PAC， ABPA21∴＝＝＝. ACPC421
【答案】 2
4．(2015·广东，15，中)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD＝________.
11
4．【解析】 由于O为AB的中点且BC∥OD，∴OP∥BC且OP＝BC＝，AC＝AB2－BC222＝15，
115
∴CP＝AC＝. 22又∵CD是圆O的切线， ∴∠ACD＝∠ABC. 又∵∠DPC＝∠ACB＝90°， ∴Rt△ABC∽Rt△DCP， ∴
PDCP＝， ACBC
15
152CPAC15
∴PD＝＝＝，
BC12115
∴OD＝OP＋PD＝＋＝8.
22【答案】 8
5．(2013·陕西，15B，易)如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝________．
5．【解析】 ∵PE∥BC， ∴∠PED＝∠BCE. 又∵∠BCE＝∠BAD， ∴∠PED＝∠BAD. 在△PDE和△PEA中，
?∠P＝∠P，?? ?∠PED＝∠EAP，?
∴△PDE∽△PEA， PDPE∴＝， PEPA
∴PE2＝PD·PA＝2×3＝6，
∴PE＝6. 【答案】
6
6．(2012·课标全国，22，10分，中)如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：
(1)CD＝BC； (2)△BCD∽△GBD.
6．证明：(1)如图，连接AF，
因为D，E分别为AB，AC的中点， 所以DE∥BC.
又CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，所以四边形ADCF是平行四边形， 故CD＝AF.
因为CF∥AB，所以BC＝AF， 故CD＝BC.
(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.
由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，∠BGD＝∠BDG.
由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB，又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC， 故△BCD∽△GBD.
在高考中，主要考查证明两三角形相似，利用三角形相似的性质、直角三角形的射影定理证明两个三角形相似，通常与圆结合考查，属中档题．
在复习时，牢记有关定理、性质，掌握三角形相似的判定方法是解答该问题的关键．
1 (2012·辽宁，22，10分)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的
切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E，证明： (1)AC·BD＝AD·AB； (2)AC＝AE.
【证明】 (1)由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB， 同理∠ACB＝∠DAB， 所以△ACB∽△DAB，从而即AC·BD＝AD·AB.
(2)由AD与⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD， 又∠ADE＝∠BDA，所以△EAD∽△ABD. AEAD
从而＝，即AE·BD＝AD·AB.
ABBD结合(1)的结论，可得AC＝AE.
与三角形相似有关的问题，首先应掌握判断三角形相似的有关定理．
(1)由弦切角定理得出∠CAB＝∠ADB及∠ACB＝∠DAB，得出△ACB∽△DAB，从而使问题得证；
(2)由弦切角定理得出∠AED＝∠BAD，进而证明△EAD∽△ABD，再利用相似三角形的性质并结合(1)得证．
(2015·江苏，21A，10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC
的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D. 求证：△ABD∽△AEB. 证明：因为AB＝AC， 所以∠ABD＝∠C. 又因为∠C＝∠E， 所以∠ABD＝∠E. 又∠BAE为公共角， 所以△ABD∽△AEB.,
相似三角形判定定理的选择 ACAB
＝， ADBD