故△BDF的外接圆的半径为
3. 2
4．(2016·河南开封三模，22，10分)如图，AB是⊙O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作⊙O的切线，切点为H. (1)求证：C，D，F，E四点共圆； (2)若GH＝6，GE＝4，求EF的长． 4．[考向2]解：(1)证明：如图，连接DB，
∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD和Rt△AFG中， ∠ABD＝∠AFE， 又∵∠ABD＝∠ACD， ∴∠ACD＝∠AFE. ∴C，D，F，E四点共圆． (2)∵C，D，F，E四点共圆， ∴GE·GF＝GC·GD. ∵GH是⊙O的切线， ∴GH2＝GC·GD， ∴GH2＝GE·GF. 又GH＝6，GE＝4， ∴GF＝9.
∴EF＝GF－GE＝9－4＝5.
5．(2015·河北石家庄模拟，22，10分)如图，AB，CD是圆的两条平行弦，BE∥AC，BE交CD于E，交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC＝ED＝1，PA＝2. (1)求AC的长；
(2)试比较BE与EF的长度关系．
5．[考向1]解：(1)∵过A点的切线交DC的延长线于P， ∴PA2＝PC·PD， ∵PC＝1，PA＝2，
∴PD＝4. 又PC＝ED＝1， ∴CE＝2， 如图，连接BC.
∵∠PAC＝∠CBA，∠PCA＝∠CAB， ∴△PAC∽△CBA， PCAC∴＝， ACAB
∴AC2＝PC·AB＝PC·CE＝2， ∴AC＝2. (2)BE＝AC＝2，
由相交弦定理可得CE·ED＝BE·EF. ∵CE＝2，ED＝1， ∴EF＝2. ∴EF＝BE.
1．相似三角形的判定方法 (1)判定定理
定理1：两角对应相等，两三角形相似．
定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 定理3：三边对应成比例，两三角形相似．
(2)引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． (3)直角三角形相似的特殊判定方法
斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似． 2．相似三角形的性质
(1)相似三角形对应边上的高、中线、对应角平分线和它们周长的比都等于相似比． (2)相似三角形的面积比等于相似比的平方． 3．平行线等分线段定理
(1)平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等． (2)推论
①经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． ②经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． 4．平行线分线段成比例定理
(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 5．直角三角形的射影定理
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项． 6．与圆有关的定理 (1)圆心角定理
圆心角的度数等于它所对弧的度数．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． (2)弦切角定理
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (3)圆的切线的性质及判定定理
性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (4)相交弦定理
内容 基本图形 条件 结论 应用 (5)割线定理 内容 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的弦AB，CD相交于圆内点P AP·PB＝PC·DP (1)在PA，PB，PC，PD四条线段中知三求一；(2)求弦长及角 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
积相等 基本图形 条件 结论 应用 PAB，PCD是⊙O的割线 (1)PA·PB＝PC·PD；(2)△PAD∽△PCB (1)求线段PA，PB，PC，PD及AB，CD； (2)应用三角形相似求AD，BC (6)切割线定理 内容 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 基本图形 条件 结论 应用 PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线 (1)PA2＝PB·PC；(2)△PAB∽△PCA (1)对于线段PA，PB，PC的长可知二求一； (2)求解AB，AC 7.圆内接四边形的性质定理和判定定理 性质定理 四边形ABCD内接于⊙O，圆内接四边形对角互补 则∠A＋∠C＝π，∠B＋∠D＝π如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆 在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝π，则四边形ABCD内接于圆 判定定理