(1)已知有一组角相等时，可选择判定定理1与判定定理2； (2)已知有两边对应成比例时，可选择判定定理2与判定定理3；
(3)判定两个直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定，如不能，再考虑用判定三角形相似的一般方法来判定．
利用截割定理及射影定理求值或证明在新课标中有所体现，往往会以相似三角形为载体，通过三角形相似来构建相应线段比，难度为中低档．
在复习中准确记忆平行线的截割定理及射影定理，充分利用中点来作辅助线，有效利用平行线分线段成比例定理．
2(2016·河北邯郸模拟，22，10分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与
AC相交于点O，过点O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，求EF.
OBBC205OB5
＝＝＝，∴＝. ODAD123BD8
【解析】 ∵AD∥BC， ∴
OEOB5∵OE∥AD，∴＝＝. ADBD85515
∴OE＝AD＝×12＝，
882
3315
同理可求得OF＝BC＝×20＝，
882∴EF＝OE＋OF＝15.
OB5
解题时充分利用平行线分线段成比例定理，求出＝，并以此为桥梁，分别在三角形中求BD8出OE和OF的值，最后求EF的值．
(2016·云南昆明质检，22，10分)如图，在△ABC中，D为BC的中点，E在
AFBF
CA上且AE＝2CE，AD，BE交于F，求，.
FDEF
解：如图，取BE的中点G，连接DG，
在△BCE中，D，G分别为BC，BE的中点， ∴DG∥CE， 1
且DG＝CE.
2
又∵AE＝2CE，DG∥CE， AFEFAE2CE∴＝＝＝＝4. FDFGDG1
CE2又BG＝GE，
BFBG＋GFGE＋GF2GF＋EF13∴＝＝＝＝2×＋1＝., EFEFEFEF42
利用比例关系求值或证明的方法
在求值时，往往需要利用线段的比例关系建立方程求解，或者利用三角形相似求解；在证明时，往往会通过三角形相似或平行线分线段成比例得到比例关系，进而求证．同时要注意直角三角形的勾股定理和射影定理在解题中的应用．
1．(2016·河南南阳二模，22，10分)如图所示，在△ABC中，AB＝AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC的延长线于点D. PCPD(1)求证：＝；
ACBD
(2)若AC＝3，求AP·AD的值．
1．[考向1]解：(1)证明：因为∠CPD＝∠ABC，∠PDC＝∠PDC， 所以△DPC∽△DBA，所以
PCPD
＝. ABBD
PCPD
又AB＝AC，所以＝.
ACBD
(2)因为∠ABC＋∠APC＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°，∠ABC＝∠ACB， 所以∠ACD＝∠APC. 又∠CAP＝∠DAC， 所以△APC∽△ACD，所以所以AP·AD＝AC2＝9.
APAC
＝. ACAD
2．(2015·河南开封一模，22，10分)如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C. (1)求证：△ABF∽△EAD；
(2)若∠BAE＝30°，AD＝3，求BF的长．
2．[考向1]解：(1)证明：∵AB∥CD， ∴∠BAF＝∠AED. 又∵∠BFE＝∠C，
∠BFE＋∠BFA＝∠C＋∠ADE， ∴∠BFA＝∠ADE. ∴△ABF∽△EAD.
(2)∵∠BAE＝30°，∴∠AEB＝60°， AB3∴＝sin 60°＝. AE2
BFAB又△ABF∽△EAD，∴＝，
ADAE∴BF＝
AB33·AD＝. AE2
3．(2015·辽宁鞍山二模，22，10分)如图，⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，点D︵
是劣弧BC的中点，连接AD并延长，与过C点的切线交于P，OD与BC相交于点E. 1
(1)求证：OE＝AC；
2PDBD2
(2)求证：＝2. PAAC
3．[考向1]证明：(1)因为AB是⊙O的直径， 所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC.
︵
因为D是BC的中点，由垂径定理得OD⊥BC，因此OD∥AC. 1
又因为点O为AB的中点，所以点E为BC的中点，所以OE＝AC.
2(2)如图，连接CD，BD.
PC
因为PC是⊙O的切线，所以∠PCD＝∠PAC，又∠P是公共角，所以△PCD∽△PAC，得PA
PDCDPDPC·PDCD2＝＝，得＝＝. PCACPAPA·PCAC2︵PDBD2又D是BC的中点，且OD⊥BC，所以CD＝BD.因此＝2.
PAAC4．(2016·河南南阳一模，22，10分)已知在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.
(1)求证：△ABC∽△FCD；
(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．
4．[考向1，2]解：(1)证明：因为DE⊥BC，D是BC的中点， 所以EB＝EC， 所以∠B＝∠1. 又因为AD＝AC， 所以∠2＝∠ACB. 所以△ABC∽△FCD.
(2)如图，过点A作AM⊥BC，垂足为点M.
因为△ABC∽△FCD，BC＝2CD， S△ABC?BC?2所以＝＝4.
S△FCD?CD?又因为S△FCD＝5， 所以S△ABC＝20.
11
因为S△ABC＝BC·AM，BC＝10，所以20＝×10×AM，所以AM＝4.
22因为DE∥AM，所以
DEBD
＝. AMBM
15
因为DM＝DC＝，
22
1
BM＝BD＋DM，BD＝BC＝5，
2DE58所以＝，解得DE＝. 453
5＋2
5．(2016·河北唐山一模，22，10分)如图，在梯形ABCD中，点E，F
分别在AB，CD上，EF∥AD，假设EF做上下平行移动． AE1
(1)若＝，求证：3EF＝BC＋2AD；
EB2(2)请你探究一般结论，即若
AEm
＝，那么你可以得到什么结论？ EBn
5．[考向1，2]解：如图，过点A作AH∥CD分别交EF，BC于点G，H.
AE1
(1)证明：因为＝，
EB2AE1所以＝.
AB3又EG∥BH，所以即3EG＝BH.
又EG＋GF＝EG＋AD＝EF， 1
从而EF＝(BC－HC)＋AD，
312
所以EF＝BC＋AD，
33即3EF＝BC＋2AD.
AEmAEm
(2)因为＝，所以＝. EBnABn＋m又EG∥BH，所以m
即EG＝BH.
m＋n
mmn
所以EF＝EG＋GF＝EG＋AD＝·(BC－AD)＋AD，所以EF＝BC＋AD，即
m＋nm＋nm＋n(m＋n)EF＝mBC＋nAD.
EGAE
＝， BHABEGAE1＝＝， BHAB3
1．(2015·重庆，14，易)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P.若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，则BE＝________．