1．[考向1]【解析】 设ED＝x，则CE＝2x. ∵PA为⊙O的切线，∴PA2＝PC·PD， 即62＝3×(3＋2x＋x)， ∴x＝3.
由相交弦定理得，AE·BE＝CE·ED， 即9BE＝2x·x＝2×32， ∴BE＝2. 【答案】 2
2．(2014·湖南，12，易)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝3，BC＝22，则⊙O的半径等于________．
2．[考向1]【解析】 如图，设AO与BC交于点D，延长AO交⊙O于点E.
1
在Rt△ABD中，由题意知AB＝3，BD＝BC＝2，
2故AD＝1.
设⊙O的半径为r，由相交弦定理得， AD·DE＝BD·DC， 即1×(2r－1)＝2×2， 3∴r＝.
23
【答案】 2
3．(2016·课标Ⅰ，22，10分，中)如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120°.以O为圆1
心，OA为半径作圆．
2(1)证明：直线AB与⊙O相切；
(2)点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD.
3．[考向2]证明：(1)如图，设E是AB的中点，连接OE. 因为OA＝OB，∠AOB＝120°， 所以OE⊥AB，∠AOE＝60°.
1
在Rt△AOE中，OE＝AO，即O到直线AB的距离等于⊙O半径，所以直线AB与⊙O相
2切．
(2)因为OA＝2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设O′是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO′.
由已知得O在线段AB的垂直平分线上， 又O′在线段AB的垂直平分线上，所以OO′⊥AB. 同理可证，OO′⊥CD，所以AB∥CD.
4．(2016·课标Ⅱ，22，10分，中)如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DE＝DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.
(1)证明：B，C，G，F四点共圆；
(2)若AB＝1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积． 4．[考向2]解：(1)证明：因为DF⊥EC， 所以△DEF∽△CDF， 则有∠GDF＝∠DEF＝∠FCB， DFDEDG＝＝， CFCDCB
所以△DGF∽△CBF， 由此可得∠DGF＝∠CBF. 因此∠CGF＋∠CBF＝180°， 所以B，C，G，F四点共圆．
(2)由B，C，G，F四点共圆，CG⊥CB知，FG⊥FB，连接GB，如图．
由G为Rt△DFC斜边CD的中点，知GF＝GC，故Rt△BCG≌Rt△BFG，因此，四边形BCGF111的面积S是△GCB面积S△GCB的2倍，即S＝2S△GCB＝2×××1＝. 222︵
5．(2016·课标Ⅲ，22，10分，中)如图，⊙O中AB的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．
(1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；
(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD. 5．[考向1，2]解：(1)如图，连接PB，BC，则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD.
︵︵
因为AP＝BP，所以∠PBA＝∠PCB，又∠BPD＝∠BCD，所以∠BFD＝∠PCD.又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD，所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝60°.
(2)证明：因为∠PCD＝∠BFD，所以∠EFD＋∠PCD＝180°，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上．又O也在CD的垂直平分线上，因此OG⊥CD.
6．(2015·课标Ⅱ，22，10分，中)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点． (1)证明：EF∥BC；
(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积．
6．[考向1]解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．
又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F， 所以AE＝AF，故AD⊥EF. 所以EF∥BC.
(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF， 故AD是EF的垂直平分线．
又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．
如图，连接OE，OM，则OE⊥AE.
由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，
所以∠OAE＝30°.所以△ABC和△AEF都是等边三角形． 因为AE＝23，所以AO＝4，OE＝2. 1
因为OM＝OE＝2，DM＝MN＝3，
2103所以OD＝1.于是AD＝5，AB＝. 3
1?103?2313163
所以四边形EBCF的面积为××－×(23)2×＝. 2?3?2223
7．(2013·课标Ⅱ，22，10分，中)如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．
(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；
(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．
BC
7．[考向2]解：(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知FADC
＝，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFEEA＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.
所以∠CBA＝90°，所以CA是△ABC外接圆的直径． (2)如图，连接CE，
因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.
而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为
1. 2
8．(2014·辽宁，22，10分，中)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F. (1)求证：AB为圆的直径； (2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.
8．[考向1]证明：(1)因为PD＝PG， 所以∠PDG＝∠PGD.
由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA. 又由于∠PGD＝∠EGA， 故∠DBA＝∠EGA，
所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD， 从而∠BDA＝∠PFA.
由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°， 于是∠BDA＝90°， 故AB是直径． (2)如图，连接BC，DC.
由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°. 在Rt△BDA与Rt△ACB中， AB＝BA，AC＝BD， 从而Rt△BDA≌Rt△ACB. 于是∠DAB＝∠CBA. 又因为∠DCB＝∠DAB， 所以∠DCB＝∠CBA， 故DC∥AB. 由于AB⊥EP，