二、桥该建在哪里：
问题超市：农场里有一条小河，里面养了很多鱼。在河的两岸有两个加工厂，农场主经常要在这两个工厂之间来回奔波。农场新买了一辆汽车，想在农场内建造一条马路，同时在河上修建一座桥。要求桥与河岸垂直，可是桥应该建在何处，才能使两个加工厂之间的路程最短？
A问题数学化：在直线L1和直线L2之间作一条垂线段CD，使得BC+CD+DA最短。
L1
知识介绍： L2关于最短距离，我们有下面几个相应的结论： B（1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）；
（2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。
一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用两点之间线段最短或者三角形两边之和大于第三边来加以证明。
另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。）
问题分析：由于CD的长度一定，所以BC+CD+DA最短，只需BC+DA最短既可。我们想办法把线段AD平移到和线段BC
AA共线的位置，于是变化为下面两
图。 A'A'问题的总结与结论：一般来DQLDL11说，我们利用图形的对称性寻找
L2LCCP2到最近的位置，然后利用三角形
BB和对称的性质去证明你所选取的
位置是题目中所要求的位置即可。
A问题的延伸：如果有两条河，需要建造两座桥，又
A'该如何呢？如图，把A向下平移到A’的位置，使线段DL1AA’等于河L1－L2的宽度；把B向上平移到B’的位置，
L2使线段BB’等于河L3－L4的宽度。连接线段B’A’，CFL3交L2于点C，交L3于点F。过C、F分别作垂线段CD、
L4FE，就是建桥的位置。如果有三条河又如何？更多的河B'E流建更多的桥又如何呢？
B
三、对称问题的进一步延伸。
我们已经可以应用轴对称的特点找到一些特殊位置使得线段和最小，那么对于线段差最小的问题，是否可以得出一些相关的结论呢？
1、直线L的异侧有两个点A、B，在直线L上求一个点C，使得：A、B到C的距离的
BL
A'C21
BLAA差的绝对值最小。
2、你认识一些什么样的轴对称图形，它们各自有什么样的几何性质？ 等腰三角形、矩形、正多边形等。
四、如何平分土地： 问题超市：水渠旁有一大块耕地，要画一条直线为分界
FD线，把耕地平均分成两块，分别承包给两个人，BC边是灌溉用的水渠的一岸。两个人不知道怎么平分土地最能满足个EA人的需要，你看这个土地的形状（比较规则的L形）（如右图所示），应该怎样平分呢？
BC
问题数学化：如何在由两个矩形所组成（割、补）的图形中寻找一条直线，使得图形被分成两部分，且两部分的面积相等，而且，均含有BC边的一部分。
问题分析：
M1、如何才能把一个矩形的面积等分。如图，可以应用AD矩形的两条对角线所在的直线AC、BD，每组对边的中点所在
OQN直线MP、NQ，且这四条直线都交于同一点O，对矩形的对称
中心。即经过对称中心O的任意一条直线都可以平分矩形的面积。 BCPFABlEDAFEDlClABFEDCBC2、利用这个结论，土地可以看成是两个矩形进行割、补得到的，分别在每个图中作两个矩形的对称中心，经过这两个点作一条直线，这条直线就可以把这两个矩形的面积进行平分，分别如上面三个图形所示：
问题的延伸：三个方案确定之后，两个农民并不满意，他们认为：“这三种方法只是把土地平分了，但是靠近水源的BC边并没有被平分。”两人为了灌溉方使，都想把靠近水源的BC边也平分了，谁会愿意要水源少的那块地呢？这三种分地的方法并不公平。那为了既平分土地，也平分水源，有什么办法呢？
问题的分析：（如右图所示）
FTRD直线QR就是原来的分界线l，取线段QR的中点为S，
E取线段BC的中点为P，则直线PS就是满足两个农民要求的A分界线。 S问题的证明：?TRS与?PQS中，三组内角对应相等，且RS=PS，则两个三角形全等，所以两个三角形的面积相等，BQPC于是经过直线TP的分界仍保证了土地的平分，且过点P也使得水源得到了平分。
思考：如果用后两种方案，你是否也得出了可以既平分水源也平分土地的方案？
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五、台球桌上的数学问题
问题超市：台球被打到台球桌边上，反弹回来，就是我们常用的对称问题。台球从球桌的一个角出发，若沿着45?角将球打到对边，然后，球经过几次碰撞，最后到另外的三个角落之一。如果台球桌的长和宽之比为2:1，需要碰撞几次？如果台球桌的长和宽之比为3:2、4:3、5:2、5:3……情况又会怎样？
知识介绍：此题类似于物理中光线的反射，当光线入射到平面镜上的时候，光线会被镜子反射。把反射光线和入射光线看成两条直线的话，那么入射角等于反射角。这在数学上就是轴对称。在台球桌（长方形），由于入射角是45?，所以反射角也是45?，这样入射线和反射线形成一个直角，相应的，在台球桌上就构成了一个等腰直角三角形，利用这一性质我们可以得到一些有趣的结论。
问题分析：我们分下面几种情况进行分析：
（1）如果长宽比为2:1，如图，则1次就够了；
（2）如果长宽比为3:2，如图，则要碰撞3次，可以到左下角； （3）如果长宽比为4:3，如图，则要碰撞5次，可以进洞；
（4）如果长宽比为5:3和7:5，分别如下图所示，分别需要6和10次碰撞可以进洞。
始始1问题的总结：
终始3453终23终1始21始510966413722终台球桌的宽b 1 2 3 3 5 4581终碰撞的次数c 可能的关系 1 2+1－2=1 3 3+2－2=3 5 4+3－2=5 6 5+3－2=6 10 7+5－2=10 a b ? a?b?2?c 问题的猜想：如果台球桌的长和宽之比为m:n（其中m、n互质的正整数），那么碰撞的次数是：m?n?2
台球桌的长a 2 3 4 5 7
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●巧作“对称点”妙解最值题
在初中平面几何尤其在初中数学竞赛题中，我们经常会碰到求两线段和的最大值或和最小值的问题，对这类题目大家感到无从下手，求解有一定的难度，但只要通过作“对称点”都可迎刃而解的，现举例说明如下：
例1 如图1，点A、B表示两个村庄，直线L表示一条公路，（村庄A、B在公路的同侧）现要在公路L上建造一个汽车站，使车站到A、B两个村庄的距离之和最短，问车站应建在何处？
解 作A点于L的对称点A?，连结A?B交L于C，则点C就是所建车站的位置。 证明 在直线L上另取一点C?连结AC，AC?，A?C?，C?B，因为直线L是点A、A?的对称轴，点C在对称轴上，所以AC=AC?，AC?=A?C?，
所以AC+CB= AC?+CB=A?B， 在△A?C?B中，
因为A?B
所以AC+CB
例2 已知定点A（1，2），B（3，4），在x轴的点P，使点P到A、B两点距离之和最短，求P点坐标。
解 由例1启发，如图2作A（1，2）关于x轴的对称点A?（1，-2）则过点A?（1，
5-2）、B（3，4）两点的直线解析为：y?3x?5，该直线与x轴交点坐标为(,0)即为所求
3P点坐标。（证略）
例3 如图3，在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在BD上，求PE与PC的长度和的最小值。
解 因为ABCD为正方形，所以A、C是关于BD所在直线对称的对称点，连结AP，由对称性知：AP=PC，则PC+PE的最小值为AP+PE的最小值，而AP+PE的最小值由例1证明可知即为线段AE。 在Rt?ABE中AE?AB2?BE2?22?32?13。
本例还可如图4，在AB上作点E关于BD的对称点E?，连PE?，CE?，同样有
PC?PE?PC?PE??CE??BE?2?BC2?13。
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例4 三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是边BC上任意一点，PA+PM的最大值和最小值分别记为S和t则S2?t2=__________________
分析 本题比上例更有一定的难度，S还好求，因为PA≤AC，PM≤CM，所以PA?PM?CA?CM?2?3，当点P为顶点C时，等号成立，所以S?2?3。
关键在于T，以BC为边作正三角形A?BC，如图5，作M关于BC所在的直线对称点M?，连结PM?、AM?，因为?ABC??CBA?，所以M?在BA?上，且BM??BM?1，PM=PM?，PA+PM=PA+PM?≥AM?，连结CM?，则?ACM??900，所以
AM??AC2?CM?2?4?3?7所以t?7。所以
S2?t2?(2?3)2?(7)2?43
例5 矩形ABCD中，AB=20厘米，BC=10厘米，若在AC、AB上各取一点M、N，使MB+MN值最小，求这个最小值。
解 如图6，作B关于AC的对称点B?，连结AB?，则N点关于AC的对称点N?在AB?上，这时BM+MN的最小值，即为BM+MN?的最小值，显然BM+MN?的最小值等于点B到AB?的距离BH。
现在求BH的长，设AB?与DC交于P点，连结BP，则
111S?ABP?AP?BH?S矩形ABCD??20?10?100(平方厘米)
222B?与B关于AC对称??1??2????1??3?PA?PC
矩形ABCD中,DC//AB??2??3?
设AP=PC=x，则DP=20-x
222
在Rt△APD中，由勾股定理，得PA=DP+DA即x2?(20?x)2?102，解得x=12.5（厘米），即AP=12.5（厘米）。
2?16(厘米)， 所以BH?100?12.5 即BM+MN的最小值是16厘米。
通过作“对称点”使几何题中求两线段和的最大或最小值，这类难题得到顺利解决。此法简单明了，直观易懂，而对于培养学生创新思维和创新能力，提高学生空间想象能力确有一定的帮助。
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