●数学最值题的常用解法
在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种：
一. 二次函数的最值公式
二次函数y?ax2?bx?c（a、b、c为常数且a?0）其性质中有
b4ac?b2①若a?0当x??时，y有最小值。ymin?；
2a4ab4ac?b2②若a?0当x??时，y有最大值。ymax?。
2a4a利用二次函数的这个性质，将具有二次函数关系的两个变量建立二次函数，再利用二次函数性质进行计算，从而达到解决实际问题之目的。
例1. 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为R?500?30x，P?170?2x。
（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 解：（1）根据题意得 1750?Px?R
(170?2x)x?(500?30x)?1750
整理得x2?70x?1125?0
解得x1?25，x2?45（不合题意，舍去） （2）由题意知，利润为
Px?R??2x2?140x?500??2(x?35)2?1950 所以当x?35时，最大利润为1950元。
二. 一次函数的增减性
一次函数y?kx?b(k?0)的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m?x?n时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。
例2. 某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？
解：设招聘甲种工种的工人为x人，则乙种工种的工人为(150?x)人，
由题意得： 150?x?2x 所以0?x?50 设所招聘的工人共需付月工资y元，则有：
y?600x?1000(150?x)??400x?150000（0?x?50） 因为y随x的增大而减小
所以当x?50时，ymin?130000（元）
三. 判别式法
x2?x?1 例3. 求2的最大值与最小值。
x?x?1
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分析：此题要求出最大值与最小值，直接求则较困难，若根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得??0，进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。
x2?x?1?y，整理得x2?x?1?yx2?yx?y 解：设2x?x?1 即(1?y)x2?(1?y)x?1?y?0 因为x是实数，所以??0 即(1?y)2?4(1?y)2?0
1 解得?y?3
31x2?x?1 所以2的最大值是3，最小值是。
3x?x?1
四. 构造函数法
“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。 例4. 求代数式x1?x2的最大值和最小值。
解：设y?x1?x2，?1?x?1，再令x?sin?，? y?x1?x2?sin?1?sin2??sin?cos?? 所以得y的最大值为
11，最小值为? 22?2????2，则有
1sin2? 2
五. 利用非负数的性质 在实数范围内，显然有a2?b2?k?k，当且仅当a?b?0时，等号成立，即a2?b2?k的最小值为k。
例5. 设a、b为实数，那么a2?ab?b2?a?2b的最小值为_______。 解：a2?ab?b2?a?2b
?a2?(b?1)a?b2?2bb?123231)?b?b? ?(a? 2424b?123?(a?)?(b?1)2?1??124b?1?0，b?1?0，即a?0，b?1时， 当a?2上式等号成立。故所求的最小值为－1。
六. 零点区间讨论法
例6. 求函数y?|x?1|?|x?4|?5的最大值。
分析：本题先用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。
解：易知该函数有两个零点x?1、x??4 当x??4时
y??(x?1)?(x?4)?5?0
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当?4?x?1时
y??(x?1)?(x?4)?5??2x?8 当?4?x?1得
?10?y??2x?8?0
当x?1时，y?(x?1)?(x?4)?5??10
综上所述，当x??4时，y有最大值为ymax?0
七. 利用不等式与判别式求解
在不等式x?a中，x?a是最大值，在不等式x?b中，x?b是最小值。
例7. 已知x、y为实数，且满足x?y?m?5，xy?ym?mx?3，求实数m最大值与最小值。
?x?y?5?m 解：由题意得? 2?xy?3?m(x?y)?3?m(5?m)?m?5m?3 所以x、y是关于t的方程t2?(5?m)t?(m2?5m?3)?0的两实数根，所以 ??[?(5?m)]2?4(m2?5m?3)?0 即3m2?10m?13?0
13 解得?1?m?
313 m的最大值是，m的最小值是－1。
3
八. “夹逼法”求最值
在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。
例8. 不等边三角形?ABC的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。
解：设a、b、c三边上高分别为4、12、h 因为2S?ABC?4a?12b?ch，所以a?3b 又因为c?a?b?4b，代入12b?ch 得12b?4bh，所以h?3
又因为c?a?b?2b，代入12b?ch 得12b?2bh，所以h?6
所以3 28 ●求最值问题 最值型应用问题经常出现在近几年的中考试卷中。这类问题贴近生活、贴近社会，有利于体现数学的人文价值和社会价值，有利于考查学生的分析、猜想、建模和综合应用等各方面的能力。本文举几例求最值的问题。 利用一次函数的性质来求最值问题 对于一般的一次函数，由于自变量的取值范围可以是全体实数，因此不存在最大最小值（简称“最值”），但在实际问题中，因题目中的自变量受到实际问题的限制，所以就有可能出现最大或最小值。求解这类问题除正确确定函数表达式外，利用自变量取值范围可以确定最大值或最小值。 例１、（2008年泉州市初中学业质量检查）红星服装厂准备生产一批A、B两种型号的演出服，已知每小时生产A型演出服比B型演出服少2套，且生产18套A型演出服与生产24套B型演出服所用的时间相同。 设该厂每小时可生产A型演出服a套，用含a的代数式表示该厂生产24套B型演出服所用的时间；求出a的值。 若该厂要在8小时之内（含8小时）先后生产A、B两种型号的演出服50套，且生产一套A、B两种型号的演出服可得利润分别为40元和30元，问应如何安排生产A、B两种型号的演出服的套数，才能使获得的总利润最大？最大的总利润是多少元？ 2418分析：（１） ①或 a?2a2418?②解得a?6 a?2a（２）设生产A型演出服x套，依题意得 x50?x??8，解得x?42。W利润＝40x?30?50?x??10x?1500 68W利润是x一次函数，利用一次函数的增减性 ∵k?10?0 ∴W随x的增大而增大， ∵x?42， ∴当x?42时，W利润有最大值＝10?42?1500?1920 例２ 某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表： A B 成本(万元/套) 25 28 售价(万元/套) 30 34 (1)该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案? (2)该公司如何建房获得利润最大? (3)根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将会提高a万元(a>0)，且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大? 注：利润=售价-成本 29 分析：(1)设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建(80-x)套，根据题意：该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，可列出两个不等式，解不等式组，即可求出x的取值范围，进而确定x的正整数值. (2)根据一次函数的增减性解决. (3)要应用分类讨论的数学思想.从而做到不重复不遗漏,注意思维的缜密性. 解析：(1)设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建(80-x)套． 由题意知2090≤25x+28(80-x)≤2096 48≤x≤50 ∵ x取非负整数， ∴x为48，49，50． ∴ 有三种建房方案： A型48套，B型32套；A型49套，B型31套；A型50套，B型30套 (2)设该公司建房获得利润Ｗ(万元)． 由题意知Ｗ=5x+6(80-x)=480-x ∴ 当x=48时，Ｗ最大=432(万元) 即A型住房48套，B型住房32套获得利润最大 (3)由题意知Ｗ=(5+a)x+6(80-x)=480+(a-1)x ∴ 当O 当a=l时，a-1=0，三种建房方案获得利润相等 当a>1时，x=50，Ｗ最大， 即A型住房建50套，B型住房建30套. 答:略. 说明:此题的第(1)问是利用一元一次不等式组解决的,第(2) 、(3)问是利用一次函数的增减性解决问题的,要注意三问相互联系. 二、利用反比例函数的性质来求最值问题 例：一名工人一天能生产某种玩具３至５个，若每天须生产这种玩具４００个，那么须招聘工人多少名？ 分析：这是一道反比例函数模型的应用题，这里４００是常量。设每人每天生产x个 400玩具，需要工人y名。则有y?。（３?x?5，且x为整数） x∵当x?0时，y随x的增大而减小， 4004001?y?∴，即80?y?133 533∵y为正整数，∴y取８０至１３４。即须招聘工人为80至134人。 三、利用二次函数的性质求最值问题 对于某些与二次函数有关的实际问题，如果我们能够将实际问题抽象为二次函数的数学模型，建立起二次函数的关系式，应用二次函数最值性质，可以解决许多实际问题。 例１．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？ 解：设利润为y元，每个售价为x元，则每个涨（x－50）元，从而销售量减少 10(x?50)个,共售出500-10(x-50)=100-10x(个) ∴y=(x-40)(1000-10x) =-10(x-70)2?9000(50?x＜100） ∴x?70时ymax?9000 答：为了赚取最大利润，售价应定为70元． 30