加上这个数的相反数，因而避开了负数的运算，解题过程更“安全”；解法二思路简单：正负数分别相加，再把结果相减，不过利用了数列的求和公式，技巧颇高。
例9计算S=2-22-23-24-25-26-27-28-29+210
解一：S=(22-2)–(23-22)-(24-23)-…(210-29)+210
=22-2-23+22-24+23-…-210+29+210 =22-2+22=6
解二:S=(210-29)-28-27-…-22+2=(29-28)-27-26…-22+2 =(28-27)-26-25-…-22+2=……=23-22+2=6 解三:由题意S=2-22-23-24-25-26-27-28-29+210 故 2S=22-23-24-25-26-27-28-29-210+211
两式相减得 S=22-2+22-210-210+211=-2+8=6
评注：解法一巧用相邻两项的关系得2n=2n+1-2n,因而利用加法运算律解决问题；解法二是“倒着走”，每一步总是把S得表达式缩短一点，从而得解，过程富有节奏感；解法三则运用了“错位相减法”，技巧性较强，但具有一般性。
本章中的一题多解问题只是为我们提供了一个领略数学思想方法的窗口，在后继课程中我们还要学习更多的一题多解问题，同学们要能养成及时总结、归纳的习惯，形成自己的学习方法，从而更高效地学习数学知识。
最后，提供一组练习，供同学们复习巩固使用。
解方程 (2x+4)2=16 （x=0或-4）
①求y=|2x-2|+|2x-4|的最值； （1≤x≤2时，y取最小值2）
②求y=|2x-2|-|2x-4|的最值 （x≥2时，y取最大值2；x≤1时，y取最小值-2）
若数x满足|1-x|=1+|x|，那么|x-1|等于下式中的哪一个？
A.1 B.-(x-1) C.x-1 D.1-x （第三届祖冲之杯试题 选D）
391111计算①(1?1?1)?(?) （答案：?）
228121263②S=1?1?1?1?1?1?1 （S=1）
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●4道经典题
1.小学生小明问爷爷今年多大年龄，爷爷回答说：“我今年的岁数是你的岁数的7倍多，过几年变成你的6倍，又过几年变成你的5倍，再过若干年变成你的4倍。”你说，小明的爷爷今年是多少岁？
解：设小明今年的年龄是x岁，那么爷爷年龄是7x。
过n年后，爷爷的年龄是小明的6倍，所以 6(x+n)=7x+n, x=5n.所以x除得尽5。
过m年后，爷爷年龄是小明年龄的6倍，所以5(x+m)=7x+m。所以x=2m.因此x是偶数。 因此x是10的倍数。爷爷的年龄是70的倍数。(140岁，也可能啊：)) 所以爷爷年龄是70岁
设小明的年龄为x岁，爷爷是7x岁。
过了a年，小明的年龄为x+a岁，爷爷是7x+a岁。有
（x+a）*6 = 7x+a，化简得 x = 5a ………………………………（1） 又过了b年，小明的年龄为x+a+b岁，爷爷是7x+a+b岁。有
（x+a+b）*5 = 7x+a+b，化简得 x = 2*（a+b）…………………（2） 又过了c年，小明的年龄为x+a+b+c岁，爷爷是7x+a+b+c岁。有
（x+a+b+c）*4 = 7x+a+b+c，化简得 x = a+b+c …………………（3）
由（1）、（2）、（3）式得 x = 5a ，3x = 10b，x = 2c
x，a，b，c都是正整数，x是5、10、2的倍数，b是3的倍数。 所以x是10的倍数，最小的数是10。
因为小明是小学生，所以只能是10岁，而不能是20岁。所以首先考虑x =10。 因此，a = 2，b = 3，c = 5
当小明是10岁时，爷爷是70岁——爷爷是小明的岁数的7倍；
过了2年，小明是12岁，，爷爷是72岁——爷爷是小明的岁数的6倍； 又过了3年，小明是15岁，，爷爷是75岁——爷爷是小明的岁数的5倍； 又过了5年，小明是20岁，，爷爷是80岁——爷爷是小明的岁数的4倍；
小明的爷爷今年是70岁.
2. 某部队执行任务,以每小时8千米的速度前进,通信员在队伍中间接到任务后,以每小时12千米的速度把命令传到队头,然后再传到队尾,最后返回他在队中原来的位置,从离开他在队中的位置到返回共用7分12秒,问队伍长多少米?
解：设队伍长x米,通信员来回地跑,往队头跑时,相对于队伍的速度是12-8=4(千米/小时),而往后跑时,相对于队伍的速度是12+8=20(千米/小时),他总共相对于队伍跑了2倍队伍的路程,一段速度为4000米/小时,一段为20000米/小时, 所以 x/4000 + x/20000 = (7×60+12)/3600 解得x=400 则队伍长400米.
设队伍长2x。因为通信员在队伍中间，所以他到队头和队尾的距离均为x。 那么，设他传到队头用的时间t1(也就是他追上最前面的那个人所用的时间)，则：
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12t1=x+8t1 即：t1=x/4
那么，当他后来从队尾回到原来自己所在位置（队伍中间）的运动过程与上面相
同，所用的时间也是t2=t1=x/4
当他从队头传到队尾时候，设时间为t3（也就是他与最后面的那个人相遇的时间），则： t3=2x/(8+12)=x/10
故，整个过程用的时间t=t1+t2+t3=(x/4)+(x/4)+(x/10)=3x/5 所以： 3x/5=(7.2/60) 解得： x=0.2km=200m 所以，整个队伍的长=2x=400m
如果以部队为参照物(速度为0) 通信员同向(通信员行进与部队前进方向相同)速度为 12-8=4km/h 反向速度为 12+8=20km/h
同向所用的时间应该是反向的5倍,等于7分12秒的5/6，即6分钟，所以队伍长度为：4000*（6/60）=400米
3.如图，Rt△ABC的面积为20平方厘米，在AB的同侧，分别以AB,BC,AC为直径作三个半圆，求阴影部分的面积。
解：设顶点A、B、C的对边分别为a,b,c，由于ABC为等边三角形，
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则a+b=c。以c为直径的半圆除三角形之外的部分面积为π（c/2)/2-20,所以阴影部分的面积为
[π（a/2) 2]/2+[π(b/2)2]/2-[π(c/2)2]/2+20=[π(a2+b2-c2)]/8+20=20
三角形ABC的面积+以BC,AC为直径的两个半圆面积-以AB为直径的半圆面积
4.有一个三角形满足 a平方+b平方+c平方+338=10a+24b+26c，这是什么三角形？
解：（a-5）+（b-12）+（c-13）=0
a2+b2+c2+338=10a+24b+26c， 答案就是：（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0, a=5，b=12，c=13为直角三角形
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