例２、（泉州市2008年中考题）某产品第一季度每件成本为50元，第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率为x
⑴ 请用含x的代数式表示第二季度每件产品的成本；
⑵ 如果第三季度该产品每件成本比第一季度少9.5元，试求x的值 ⑶ 该产品第二季度每件的销售价为60元，第三季度每件的销售价比第二季度有所下．．．降，若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同，且第三季度．．每件产品的销售价不低于48元，设第三季度每件产品获得的利润为y元，试求y与x的函．．数关系式，并利用函数图象与性质求y的最大值（注：利润?销售价?成本）
分析：（1）50?1?x? ⑵50?1?x?2?50?9.5 解得x?0.1
（3）60?1?x??48,解得x?0.2而x?0，∴0?x?0.2
而y?60?1?x??50?1?x?2 ＝?50x2?40x?10
＝?50?x?0.4?2?18
∵当x?0.4时，利用二次函数的增减性，y随x的增大而增大，而0?x?0.2， ∴当x?0.2时，y最大值＝18（元）
说明：当自变量取值范围为体体实数时，二次函数在抛物线顶点取得最值，而当自变量取值范围为某一区间时，二次函数的最值应注意下列两种情形：
若抛物线顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值。
若抛物线的顶点不在该区间内，则区间两端点所对应的二次函数的值为该函数的最值。
四、利用对称性来求最值问题。
类这题涉及的知识面广，综合性强，解答有一定的难度。 （一）在几何题组中的应用
例１、如图，菱形ABCD中，AB＝2，，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小最是
Ｄ 分析：由菱形的性质知：点Ｂ与点Ｄ关于ＡＣ对称。因为Ｐ在ＡＣ上支运动，所以ＰＢ＝ＰＤ。
Ｐ P1要求PE+PB的最小最，即求PＤ+PB的最小值。连接ＤＥ交ＡＣ 1ＭＡＣ于点P，则ＤＥ即为所求。又∠BAD＝60°，ＡＥ＝ＡＤ，Ｅ 12ＢＥ为ＡＢ的中点，所以ＤＥ⊥ＡＢ，而ＡＢ＝ＡＤ＝２，所以ＤＥ＝3，即 PＤ+PB的最小值为3
例２、如图，∠ＡＯＢ＝４５°角内有一点Ｐ，ＯＰ＝１０，在角的两边上有两点Ｑ、Ｒ（均不同于点Ｏ），则△ＰＱＲ的周长的最小值为
Ａ P1 分析：作Ｐ关于ＯＡ，ＯＢ的对称点P1，P2。
连接P1P2，分别交ＯＡ，ＯＢ于Ｑ，Ｒ。
Ｑ 如图所示，再连接ＰＱ，ＰＲ。 Ｐ
易知 P1Ｑ＝ＰＱ，P2Ｒ＝ＰＲ， 所以△ＰＱＲ的周长＝P1Ｑ+ＱＲ+P2Ｒ。
Ｏ Ｒ Ｂ
根据两点之间线段最短， △ＰＱＲ的周长＝P1P2，而∠ＰＯＡ＝∠P1ＯＡ， P2 ∠ＰＯＢ＝∠P2ＯＢ，且ＯＰ＝ＯP1＝ＯP2＝１０，
31
又∠ＡＯＢ＝４５°，所以∠P1ＯP2＝９０°
即△P1ＯP2为等腰直角三角形，故△ＰＱＲ的周长的最小值为102
（二）在代数题组中应用
1例1，如图，抛物线y?x2?bx?2与x轴交于A、B两点，与Y轴交于C点，
2且A（－1，0）。求抛物线的解析式及顶点Ｄ的坐标 Y 判断△ＡＢＣ的形状，证明你的结论。点Ｍ（m，0） 是Ｘ轴上的一个动点，当ＭＣ+ＭＤ的值最小时，
E 求m的值
1分析：（1）将A（－1，0）代入y?x2?bx?2 M 2A O B X 313得b??，所以抛物线的解析式y?x2?x?2
2221325C ?325?配方得：y?(x?)2?，所以顶点D?,?? 228?28?D （2）求出AC=5，BC=20，而AB=5 ∴AC2?BC2?AB2，故△ＡＢＣ为RT△ （3）作点C关于X轴的对称点E（2，0），
连接DE交X轴于点M，通过两点式可求得直线DE的 4124解析式：y??x?2，当y=0时，解得x=
12412424∴Ｍ（，0）即m=
4141Y
例2、如图以矩形ＯＡＢＣ的顶点Ｏ为原点，ＯＡ所在的直线为ＸP 轴，ＯＣ所在的直线为Ｙ轴，建立平面直角坐标系。
C 2 F B 已知ＯＡ＝３，ＯＣ＝２，点ＥN1 F1 是ＡＢ的中点，在ＯＡ上取一点Ｄ，
N E 将△ＢＡＤ沿ＢＤ翻折，使点Ａ落在
P1 A ＢＣ边上的点Ｆ处。
O D M M1 3 X 直接写出点Ｅ、Ｆ的坐标： 设顶点为Ｆ的抛物线交Ｙ轴正E1 半轴于点Ｐ，且以Ｅ、Ｆ、Ｐ为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
在Ｘ轴、Ｙ轴上是否分别存在点Ｍ、Ｎ，使得四边形ＭＮＦＥ的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由。
分析：（1）Ｅ（3，1），F（1，2）
在RT△FEB中，FB=2，BE=1，∴EF=5， 当EP1（0，0）不合题意 1?5时，P当EP?5时，如图所示P（0，4）
设抛物线的解析式为y?a(x?1)2?2，且过点P（0，4），代入得4?a(0?1)2?2
32
∴a?2，∴y?2(x?1)2?2
作点F关于Y轴的对称点F1，点E关于X轴的对称点E1，连接F1E1分别交X轴，Y轴于点M，N。此时四边形ＭＮＦＥ的周长最小，
∵ F1E1= FN+MN+ME=F1N?MN?ME1?F1N1?M1N1?M1E1
F1E1 =32?42?5，
∴四边形ＭＮＦＥ的周长最小值=F1E1+EF=5?5
33
●有理数的一题多解
有理数是学生进入初中阶段接触的第一块系统学习的代数知识，它不仅在知识体系上让学生第一次领略了系统性、层次性，而且也渗透了“分类”、“一题多解”等好的数学思想。所谓“一题多解”，是指答案的多样性或方法的多样性。
本文试就本章出现的一题多解问题作一归类说明。
绝对值方程中的一题多解
一个数的绝对值表示点到原点的距离，而互为相反数的两数到原点的距离相同，故方程 |x|=a(a>0) 的解有两个：x1=a或x2=—a,他们是一对互为相反数。
例1解方程|x+1|=2
解：∵|x+1|=2 ，∴x+1=2或—2，∴x=1或—3.
评注：若|x|=0,则x=0,此时方程只有一解，注意区别。
例2 方程|x-2|+|x-3|=1的解的个数是 ( ) A、0 B、1 C、2 D、3 E、多于3（第41届美国高中数学竞赛，第4届初中祖冲之杯数学邀请赛试题）
解：该题的几何意义是：点x到2的距离与到3 的距离的和等于1，由图形可知，x在这两点之间（含这两点），
即方程的解是2≤x≤3 ,故选E 0 1 2 3
最值问题中的一题多解
所谓最值，即指最大值或最小值，在本章中涉及的最值问题主要是与绝对值相关的距离的最值，在竞赛中会有所涉及。
例3 求y=|x-1|+|x+3|的最值，并求此时x的取值范围。
解：根据绝对值的几何意义，y表示数轴上的一点x到两点1和3之间的距离之和，从数轴上看，当x<1或x>3时,y取不到最大、最小值，当1≤x≤3时，y可取最小值2，
B A 此时使y取最小值2的
点分布在线段AB上，即1≤x≤3. 1 0 3
例4求y=|x-1|-|x-3|的最值，并求此时x的取值范围。
解: 同例3,y表示数轴上的点x到点1、3的距离之差，分情况讨论如下： 1)x>3时，y=2
2) 1≤x≤3时,-2≤y≤2 x 0 1 3 3)x<1时，y=-2.
故y取最大值为2，此时x≥3,取最小值 -2，此时x≤1.
0 0 x 1 1 x 3 3 评注：例3与例4的区别在于相差一个
符号，而结果却大相径庭。但这一点从几
何意义上来看，是很清晰的。所以，对于此类与距离有关的最值问题，我们可以借助于图形，以获得直观的理解。
34
乘方运算中的一题多解
在乘法运算中，根据符号法则——同好得正，异号得负，故有1?1=1，(-1)?(-1)=1，故解方程x2=1时，x可取1或-1，即二次方程x2=1有二解。当然，这里的1可以换成其他的数。
例5解方程(x-3)2=9
解：∵32=9,(-3)2=9,∴x-3=3或-3，∴x=0或6.
评注：由于所学知识有限，现阶段我们只能利用乘方的含义求解诸如“x2=a2,a为有理数”的二次方程，更一般的二次方程的解法构成了初中数学的一大分支，将在以后学到。
例6 解方程x3=x
3322
解:由x=x得x-x=0,即：x(x-1)=0,故，x=0或x=1，即x=1或-1， 综上，原方程的解为x=0，1，-1.
评注：并非所有的形如xn=a(a≥0)的方程都有多解，如x4=64就只有一个解x=4.一般地，对方程xn=a(a>0)，若n为偶数，则方程有2解，且二解互为相反数；若n为奇数，则只有一解。
四则运算中的一题多解
此处的“一题多解”取多种解法的意思。我们知道，四则运算中，运算律或运算技巧的使用可以让我们充分领略“条条大路通罗马”的数学思想方法。当我们熟悉多种方法后，可以选择一种最好的。
37778例7计算(1--)?(-)+(-)
834812877788解一：原式=（--）?(?)+(-)=?42?21?14?8-
3481272473 =?7?8?8 = -3
2473解二：原式=（
87778--）?(?)+(-)
34812728 =?7?8?7?8?7?8?8=-2+1+-=-3
3347871273评注：解法一在括号内通分后计算，是通常的路子；解法二注意到括号内分数分子相同，可与括号外的分数约分，使用了分配律，易于口算。因而快捷一些。
例8求S=1-2+3-4+5-6+…-2002+2003的值.
解一：S=(1-2)+(3-4)+(5-6)+ …+(2001-2002)+2003 =(-1)+(-1)+(-1)+ …(-1)+2003 =-1001+2003=1002
解二：S=(1+3+5+…+2003)-(2+4+6…+2002)=(1?2003)?1002-(2?2002)?1001
22 =1002?1002-1002?1001=1002
解三：S=1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+7)+ …+(-2002+2003) =1+1?1001=1002
评注：解法一、三如出一辙，不过解法三灵活利用了减法的意义——减去一个数等于
35