E单元 不等式
目录
E单元 不等式 1
E1 不等式的概念与性质 1 E2 绝对值不等式的解法 3 E3 一元二次不等式的解法 7 E4 简单的一元高次不等式的解法 8 E5 简单的线性规划问题 8
ab?E6 基本不等式a?b2 16
E7 不等式的证明方法 19 E8 不等式的综合应用 22 E9 单元综合 23
E1 不等式的概念与性质
【数学理卷·2015届辽宁省沈阳二中高三12月月考（201412）】20.（本小题满分12分）
2*an???a?Sa?2Sn?an，设数列的各项都是正数，且对任意n?N，都有n其中n为数列n的
前n项和. （I）求数列（II）设
?an?的通项公式；
n?1bn?3n???1?.??2an（?为非零整数，n?N），试确定?的值，使得对任意
*n?N*；都有bn?1?bn成立.
【知识点】数列的通项公式 不等式D1 E1
*a?n(n?N)；n【答案】【解析】（I）（II）－1
2*a?2Sn?an，……………① nn?N 解析：（Ⅰ）∵时，
a?2Sn?1?an?1当n?2时，n?1，………………②
由①－②得，即
22an?an?1?(2Sn?an)?(2Sn?1?an?1)2
，
22an?an?1?an?an?1，∵
an?an?1?0 ∴
an?an?1?1(n?2)a12?2S1?a1n?1由已知得，当时，，∴a1?1.
*a?n(n?N). {a}nn故数列是首项为1，公差为1的等差数列.∴
1
*nn?1na?n(n?N)b?3?(?1)??2nn（Ⅱ）∵，∴,
n?1nnn?1n?1nnn?1nb?b?3?3?(?1)??2?(?1)??2?2?3?3??(?1)?2n?1n∴.
3n?1n?1(?1)???()b?bn恒成立,只须2. 要使得n?1(1)当n为奇数时,即
??()n?132323()n?1恒成立.又2的最小值为1,∴??1. 333????()n?1?2 恒成立.又2的最大值为2,∴
(2)当n为偶数时,即
???()n?13???1∴由(1),(2)得2,又??0且?为整数,
?*b?bn成立. ∴???1对所有的n?N,都有n?1【思路点拨】遇到由数列的前n项和与通项的递推关系，通常先转化为通项之间的递推关系再进行解答，对于不等式恒成立问题通常转化为求最值问题进行解答.
【数学文卷·2015届辽宁省沈阳二中高三12月月考（201412） (1)】20.（本小题满分12分）
2*an???a?Sa?2Sn?an，n?Nn设数列的各项都是正数，且对任意，都有其中n为数列n的
前n项和. （I）求数列（II）设
?an?的通项公式；
n?1bn?3n???1?.??2an*?n?N（为非零整数，），试确定?的值，使得对任意
n?N*；都有bn?1?bn成立.
【知识点】数列的通项公式 不等式D1 E1
*a?n(n?N)；n【答案】【解析】（I）（II）－1
2*an?2Sn?ann?N 解析：（Ⅰ）∵时，，……………①
当n?2时，
2an?1?2Sn?1?an?1，………………②
，
由①－②得，即
22an?an?1?(2Sn?an)?(2Sn?1?an?1)22an?an?1?an?an?1，∵
an?an?1?0 ∴
an?an?1?1(n?2) 2
2a?2S1?a1，∴a1?1. n?11由已知得，当时，
*a?n(n?N). {a}nn故数列是首项为1，公差为1的等差数列.∴*nn?1na?n(n?N)b?3?(?1)??2nn（Ⅱ）∵，∴,
n?1nnn?1n?1nnn?1nb?b?3?3?(?1)??2?(?1)??2?2?3?3??(?1)?2n?1n∴.
3n?1n?1(?1)???()b?bn?1n2要使得恒成立,只须.
(1)当n为奇数时,即
??()n?132323()n?1恒成立.又2的最小值为1,∴??1. 333????()n?1?2 恒成立.又2的最大值为2,∴
(2)当n为偶数时,即
???()n?13???1∴由(1),(2)得2,又??0且?为整数,
?*b?bn成立. ∴???1对所有的n?N,都有n?1【思路点拨】遇到由数列的前n项和与通项的递推关系，通常先转化为通项之间的递推关系再进行解答，对于不等式恒成立问题通常转化为求最值问题进行解答.
E2 绝对值不等式的解法
【数学理卷·2015届浙江省杭州二中高三第二次月考（201412）】22、已知函数
f(x)?x2?1,g(x)?a|x?1|．
（Ⅰ）若当x?R时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； （Ⅱ）求函数h(x)?|f(x)|?g(x)在区间[?2,2]上的最大值． 【知识点】含绝对值不等式 二次函数求最值 E2
?3a?3?a?0??h?x???a?3??3?a?0???0?a??3?【答案】（Ⅰ）a≤?2；（Ⅱ）.
2(x?1)≥a|x?1|（*）对x?Rf(x)≥g(x)x?R【解析】解析：（1）不等式对恒成立，即
恒成立，
3
①当x?1时，（*）显然成立，此时a?R；
a?x2?1?(xx2?1?x?1,(x?1),②当x?1时，（*）可变形为|x?1|)?，令
|x?1|????(x?1),(x?1). 因为当x?1时，?(x)?2，当x?1时，?(x)??2，所以?(x)??2，故此时a≤?2. 综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤?2.
??x2?ax?a?1,(x≥1),??x2?ax?a?1,(?1≤x?1),（2）因为h(x)?|f(x)|?g(x)?|x2?1|?a|x?1|?=?x2?ax?a?1,(x??1).…10分a①当2?1,即a?2时，结合图形可知h(x)在[?2,1]上递减，在[1,2]上递增，
且h(?2)?3a?3,h(2)?a?3，经比较，此时h(x)在[?2,2]上的最大值为3a?3.
②当0≤a2≤1,即0≤a≤2时，结合图形可知h(x)在[?2,?1]，[?a2,1]上递减， 在[?1,?a2]，[1,2]上递增，且h(?2)?3a?3,h(2)?a?3h(?a)?a2?a?1，24，
经比较，知此时h(x)在[?2,2]上的最大值为3a?3.
a③当?1≤2?0,即-2≤a?0时，结合图形可知h(x)在[?2,?1]，[?a2,1]上递减， 在[?1,?a2]a，[1,2]上递增，且h(?2)?3a?3,h(2)?a?3h(?，2)?a24?a?1，
经比较，知此时h(x) 在[?2,2]上的最大值为a?3.
3a④当?2≤2??1,即-3≤a??2时，结合图形可知h(x)在[?2,a2]，[1,?a2]上递减， 在[a2,1]，[?a2,2]上递增，且h(?2)?3a?3?0, h(2)?a?3≥0，
经比较，知此时h(x) 在[?2,2]上的最大值为a?3.
a当2??32,即a??3时，结合图形可知h(x)在[?2,1]上递减，在[1,2]上递增，
4
故此时h(x) 在[?2,2]上的最大值为h(1)?0.
?3a?3?a?0??h?x???a?3??3?a?0???0?a??3?综上所述， .
2(x?1)≥a|x?1|（*）对x?R恒成立，讨论当x?1时，【思路点拨】根据题意可得（*）
x2?1a?|x?1|，令显然成立，此时a?R，当x?1时，（*）可变形为?1),x2?1?x?1,x(?(x)???|x?1|??(x?1),(x?1).只
需求其最小值即可；
?x2?ax?a?1,(x≥1),?h?x????x2?ax?a?1,(?1≤x?1),a?x2?ax?a?1,(x??1).?1即,a?2?，讨论对称轴①当2时，②当
a0≤≤1即,0≤a≤22时，③当
?1≤a2?即0-2,≤a?时
0，④当
3a?≤??1即,-3≤a??222时，四种情况，分别求得最大值.
【数学文卷·2015届浙江省杭州二中高三第二次月考（201412）】（22）（本小题满分14分）
2f(x)?x?1,g(x)?a|x?1|． 已知函数
（Ⅰ）若当x?R时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； （Ⅱ）求函数h(x)?|f(x)|?g(x)在区间[0,2]上的最大值． 【知识点】含绝对值不等式 二次函数求最值 E2
?3?a,a??3h(x)max???0,a??3【答案】（Ⅰ）a≤?2；（Ⅱ）.
2(x?1)≥a|x?1|（*）对x?R恒成f(x)≥g(x)x?R【解析】（Ⅰ）不等式对恒成立，即
立，
①当x?1时，（*）显然成立，此时a?R；
5