由z=2x+y，得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点C时， 直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大，
?x?2y?1?0?x?3??x?y?1?0y?2， ?由，解得?即C（3，2），此时z=2×3+2=8，
【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．
ab?E6 基本不等式
a?b2
【数学理卷·2015届辽宁省沈阳二中高三12月月考（201412）】6.点上移动，则2?4的最小值是 （ ） A.8 B. 6 C.42 D.32 【知识点】基本不等式E6 【答案】【解析】C 解析：因为2?4?2?2aba2b?a,b?在直线x?2y?3ab?22a?2b?223?42，当且仅当a=2b时等号成立，所
以选C .
【思路点拨】利用指数的运算发现所求式子两个加项之积为定值，直接利用基本不等式求最值即可.
【数学理卷·2015届浙江省杭州二中高三第二次月考（201412）】7、若正数a，b满足
1119??1?ab，则a?1b?1的最小值
A．1 B．6 C．9 D．16 【知识点】基本不等式E6
11a??1?b＝＞01,同理b＞1，a，baba?1【答案】【解析】B解析：∵正数，满足，，解得a＞
191911?????9?a?1??2.91?6?a??a?1b?1a?1a?1a?1a?1a?1所以，当且仅当14?9?a?1?a?3等号成立，所以最小值为6．故选择B. a?1，即
16
b＝【思路点拨】根据已知可得
a19＞0?a?1，代入a?1b?1，整理可得
11?9?a?1??2.9?a?1??6a?1a?1，可得结果.
y?【数学理卷·2015届河南省洛阳市高三第一次统一考试（201412）】10.曲线 在点
1(x?0)xP(x0,y0)处的切线为 l．若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，则△OAB的 周长
的最小值为
A. 4?22 B. 22 C.2 D. 5?27 【知识点】导数的几何意义；基本不等式求最值. B11 E6
11l:y?y??(x?x0)y???2022x?xxx0y?2x0?0，0【答案】【解析】A 解析：∵，∴即
2422l?2x0??4x0?2?4?22x0x02xx可得A(0,0)，B(0, 0)，∴△OAB的周长，当且仅
当
x0?1时等号成立.故选 A.
x0表示
【思路点拨】由导数的几何意义得直线l的方程，从而求得A 、B的坐标，进而用△OAB的周长，再用基本不等式求得周长的最小值.
【数学文卷·2015届辽宁省沈阳二中高三12月月考（201412） (1)】6.点
?a,b?在直线
x?2y?3上移动，则2a?4b的最小值是（ ）
A.8 B. 6 C.42 D.32 【知识点】基本不等式E6 【答案】【解析】C 解析：因为2?4?2?2aba2b?22a?2b?223?42，当且仅当a=2b时等号成立，所
以选C .
【思路点拨】利用指数的运算发现所求式子两个加项之积为定值，直接利用基本不等式求最值即可.
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【数学文卷·2015届浙江省杭州二中高三第二次月考（201412）】7、若正数a，b满足
1119??1?ab，则a?1b?1的最小值
A．1 B．6 C．9 D．16 【知识点】基本不等式E6
11a??1?b＝＞01,同理b＞1，aba?1【答案】【解析】B解析：∵正数a，b满足，，解得a＞
191911?????9?a?1??2.91?6?a??aa?1b?1a?1a?1?1a?1a?1所以，当且仅当14?9?a?1?a?3等号成立，所以最小值为6．故选择B. a?1，即
b＝【思路点拨】根据已知可得
a19＞0?a?1，代入a?1b?1，整理可得
11?9?a?1??2.9?a?1??6a?1a?1，可得结果.
【数学文卷·2015届山东省日照市日照一中高三12月校际联合检测（201412）】20.（本小题满分13分）
某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：
?132x?80x?5040x,x??120,144???3y???1x2?200x?80000,x??144,500???2，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物
柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴. （I）当
x??200,300?时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，
则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（II）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．B10 E6 【答案】【解析】（Ⅰ）5000元；（Ⅱ）400吨
,300?时，设该项目获利为S，则 解析：（Ⅰ）当x??200
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11S?200x?(x2?200x?80000)??x2?400x?8000022
1??(x?400)22 . …………………………4分
,300?时，S?0.因此，该项目不会获利. 所以当x??200当x?300时，S取得最大值?5000，
所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损. ………6分 （Ⅱ）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：
?12x?80x?5040,x??120,144?y??3??80000x?1x??200,x??144,500??x?2 . ………………8分 y121?x?80x?5040?(x?120)2?240.3 当x??120,144?时，x3 y 所以当x?120时，x取得最小值240; ……………………10分
80000180000y1?x??200?2x??200?200??x?144,5002x2x. 当时，xy180000x?x，即x?400时，x取得最小值200. 当且仅当2因为200?240，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. ……13分
【思路点拨】（Ⅰ）先确定该项目获利的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用；（Ⅱ）确定食品残渣的每吨的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论．
E7 不等式的证明方法
【数学理卷·2015届河南省洛阳市高三第一次统一考试（201412）】22.（本小题满分12分）
mf(x)?ln(1?x)?x 已知函数
(1)若函数 f(x)为 (0,??)上的单调函数，求实数m的取值范围；
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111(1?sin1)(1?sin22)(1?sin32)???(1?sinn2)?e2(2)求证：
．
【知识点】导数的应用；放缩法证明不等式. B12 E7
【答案】【解析】(1) m≤1；(2)证明：见解析.
f(x)?mln(1?x)?x,?f?(x)?m 解析：1?x?1（1）
,
∵f(x)在
?0,???上为单调函数， ∴f?(x)?0恒成立，或f?(x)?0恒成立.---2分m1?x?1m?1即恒成立，或1?x恒成立.
∵
x??0,???,?m?1?x不能恒成立.
而1+x>1, ∴m≤1时f(x)为单调递减函数. 综上，m≤1.-------4分 （2）由（1）知，m=1时f(x)在?0,???上为减函数，
∴f(x) x??0,???-------6分 sin1,sin1∵ 22,sin1n2?0， ∴ln(1?sin1)?sin1， ln(1?sin1122)?sin22 ln(1?sin11n2)?sinn2--------8分 g(x)?sinx?x,x?(0,?令 2)，则g?(x)?cosx?1?0， ?∴g(x)(0,在2)为减函数， (0,?∴g(x) 22?122,,sinn2?n2.-------10分 20