2证明：数列，，
，
．
故
【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和小于1的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．这个题目也涉及了数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出
做差得通项，但是这种方法需要检验n=1
时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。 19.已知如图，
平面
，四边形
为等腰梯形，
，
.
（1）求证：平面（2）已知为
平面； 与平面
所成角的正弦值.
中点，求
【答案】（1）见解析；（2）【解析】
试题分析：（1）连接平面∴
，可得
，过作
于，过作平面
于，由三角形内角和定理可得，由
，可求得
，从而可得，由面面垂直的判定定理可得结论；（2）由（1）知，
距离为，根据“等积变换”
为直角三角形，为，进而可得
与平面
中点，设到平面所成角的正弦值.
于，过作，∴
，
试题解析：（1）连接在等腰梯形∴∴∵∴又
平面，∴平面
即，
，过作于. .
，
中，∵
，则， 平面， 平面
，
平面，∴平面
.
（2）∵由（1）知，∴∵∴即
，∴为直角三角形，为，
中点，设到平面距离为，
， ，
，∴
.
∴与平面所成角的正弦值等于.
20.某校高一班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．
1求分数在2求分数在3若要从分数在
的频数及全班人数；
之间的频数，并计算频率分布直方图中
间矩形的高；
之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在
之间的概率．
【答案】（1）2，25；（2）【解析】 【分析】
1先由频率分布直方图求出
的频率，结合茎叶图中得分在
的人数即可求得本次考试的总人数；
内的人数，从而可计算频
；（3）.
2根据茎叶图的数据，利用1中的总人数减去外的人数，即可得到
率分布直方图中间矩形的高；3用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意得基本事件个数，
利用古典概型概率计算公式即可求出结果． 【详解】1分数在由茎叶图知： 分数在全班人数为2分数在
之间的频数为2，
． 之间的频数为
间的矩形的高为
；
．
之间的2个分数编号为，，
的频率为
，
频率分布直方图中3将在
，
之间的3个分数编号为，，，之间的试卷中任取两份的基本事件为：
，
，
，
，
，
，，，共10个，
其中，至少有一个在故至少有一份分数在
之间的基本事件有7个， 之间的概率是
．
【点睛】本题考查了茎叶图和频率分布直方图的性质，以及古典概型概率计算公式的应用，此题是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.
2
21.已知函数f(x)＝x－ax－alnx(a∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝1处取得极值，求a的值； (2)在(1)的条件下，求证：f(x)≥－＋【答案】(1) a＝1.(2) 见解析. 【解析】
试题分析：（1）根据极值的定义即导函数的变号零点，求导使得f′(1)＝0，解得a＝1；并检验a＝1时1是函数的变号零点即可（2）构造函数g(x)＝f(x)－函数的最小值大于等于0即可. 解析：
(1)解 f′(x)＝2x－a－，由题意可得f′(1)＝0，解得a＝1.经检验，a＝1时f(x)在x＝1处取得极值，所以a＝1.
(2)证明 由(1)知，f(x)＝x2－x－lnx，
－4x＋.
，研究这个函数的单调性，使得这个
令g(x)＝f(x)－＝－
＋3x－lnx－
，
由g′(x)＝x2－3x＋3－＝－3(x－1)＝ (x>0)，可知g(x)在(0,1)上是减函数，
－4x＋
成立．
，
的
在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)≥g(1)＝0，所以f(x)≥－＋22.已知椭圆直线的距离是
．
的右焦点与抛物线
的焦点重合，原点到过点
1求椭圆的方程； 2设动直线
与椭圆有且只有一个公共点，过作
的垂线与直线交于点，求证：点在定直
线上，并求出定直线的方程． 【答案】（1）【解析】 【分析】
1由抛物线的焦点坐标求得
，结合隐含条件得到
，再由点到直线的距离公式得到关于a，b
；（2）证明见解析，
.
的另一关系式，联立方程组求得a，b的值，则椭圆方程可求；2联立直线方程和椭圆方程，消去y得到
，由判别式等于
0整理得到
方程为
，代入，联立方程组
求得P的坐标，然后写出直线
，求得，即说明点Q在定直线
，得
，
上．
【详解】1由抛物线的焦点坐标为因此直线AB：
， ，即
．
， ；
，
原点O到直线AB的距离为联立
，解得：
，
椭圆C的方程为
2由，得方程
且
， ，
由直线与椭圆相切，得
整理得：将即
，即，解得
，
代入，
式，得
，
，
又，，则，
直线方程为，
联立方程组点Q在定直线
上．
，得，
【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了点到直线距离公式的应用，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了两直线交点坐标的求法，是中档题．圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.