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三．解答题
1．离散型随机变量X的分布为右表，求（1）常数C的值； （2）X的数学期望。
X -2 -1 1 P 2C 3C 4C 3C?4C?,1C?解：（1）（2C?（2）EX?
1） 91 xp??kk3k?1 32．设随机变量(X,Y)的联合分布律为右表， 求：（1）E(X)；（2）E(Y)；（3）E(XY)。 解：
Y X 1 2 ?1 11 421 0 1 4X 1 2 Y -1 1 XY -2 -1 1 2 P 13 44P 31 44P 111 0 244
137311113??，（2）E(Y)?????，（3）E(XY)???1??? 4244424241?x3． 设?的概率密度为?(x)?e（???x???）， 求： E?。
2??0x??x1?x11x?xxx0xx??E??x?edx?edx?edx?(xe?e)?(?xe?e)0?0 解：?????2???2?0222（1）E(X)?
4． 设(?,?)服从在A上的均匀分布，其中A为x轴，y轴，及直线x?y?1?0 所围成的区域，求：（1）E?；（2）E(?3??2?)。
???f(?,?)d??2(1??),0???1?2(x,y)?A?解：f(?,?)??,，f(?)?????
0其它???0,其它??11（1）E????f(?)d???2?(1??)d??
??0311（2）同上，E??，E(?3??2?)??3E??2E???
33
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第15次作业
一、填空题
1．设随机变量X1,X2,,Xn相互独立且同服从参数为p的0—1分布，
11n1n则E(?Xi)?_p__；D(?Xi)?___________。p(1?p)
nni?1ni?12． 设E(X)??1,D(X)?3,E(3X2?2)?___10____。
3． 设X~N(0,32),Y~?(2)，且X和Y相互独立，则D(3X?2Y)?__89___。 4． 设随机变量X有E(X)?0,D(X)?1,E(aX?2)2?8(a?0)，则a?__2___。 二．选择题
X -2 1 x E(X)?1，1． 已知随机变量X的分布律为右表，则常数x=（B ）
P A． 2 B． 4 C． 6 D． 8
11 P 442． 设随机变量X在区间[?3,3]上服从均匀分布，则D(1?2X)?（ D ）。 A． 1 B． 3 C． 7 D． 12 3． 设随机变量?的方差存在，且D(10?)?10，则D(?)?（ A ）。
A． 110 B． 1 C． 10 D． 100 4． 设X~N(1,5),Y~N(1,16)，且X和Y相互独立，则D(2X?Y?1)?（ C ）。 A． 4 B． 26 C． 36 D．37
32
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三．解答题
1． 设X是离散型随机变量，P{X?x1}?35,P{X?x2}?25（x1?x2）， 且E(X)?75，D(X)?625，求X的分布律。
27?3x?x??64911?51525222??，解：DX?EX?(EX),EX? 可得关于x1,x2的方程组?，
321125255?x2?x2?12?55?5X
解得x1?1,x2?2，所以分布律为：
p
1
3522 5
2． 设随机变量X在区间[??lnx,11,]上服从均匀分布，y?g(x)??22?0,x?0,， 求随机变x?0量Y?g(X)的数学期望及其方差。
1?1?1,??x?解：由均匀分布得：f(x)??22
??0,其它EY?E(g(x))??EY?E(g(x))?? DY?EY?(2????11g(x)f(x)dx??lnxdx?xlnx?x?(ln?1)
022120221201201212022????g(x)f(x)dx??lnxdx?xlnx3ln?2
421?2?lnxdx?ln22?ln2?1
2120112E)Y?ln22?42?e?(x?y),3．设随机变量X和Y的联合概率密度函数为f(x,y)???0,试求：（1）P{X?Y}；（2）E(XY)。 解：（1）P{X?Y}?（2）EXY?0?x???, ，
其它???0dx?ex???(x?y)dy???edx(e)0???x?y??x??e?2xdx?0??1 2?????dx?????xyf(x,y)dy????0xedx??x??0ye?ydy
?x?x?x又因为xedx??xe?e?C，
?所以
???0??xe?xdx??(x?1)e?x0?1，???0ye?ydy??(y?1)e?y33
??0?1， EXY?1
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第16次作业
一． 填空题
1． 设随机变量D(X)?1,D(Y)?4,?XY?0.5，则D(X?Y)?___7____。 2． 已知E(x)??1,E(Y)?2,E(XY)?4，则cov(X,Y)?_____6____。 3． 设X1,X2,Y均为随机变量，已知cov(X1,Y)??1，cov(X2,Y)?3，
则cov(X1?2X2,Y)?____5____。
4． 设X和Y为随机变量，D(X)?25,D(Y)?16,cov(X,Y)?8，
则?XY?___0.4_____。 二． 选择题
1.设E(X)、E(Y)、D(X)、D(Y)及cov(X,Y)均存在，则D(X?Y)?（ C ） A．D(X)?D(Y) B．D(X)?D(Y)
C．D(X)?D(Y)?2cov(X,Y) D．D(X)?D(Y)?2cov(X,Y)
2.设对于随机变量X和Y，P{Y?a?bX}?1(b?0)，而?是X和Y的相关系数，则（ C ） A．0???1 B．??1 C．??bb D．???1 三．解答题
1．已知离散型随机向量(X,Y)的概率分布为 ，求cov(X,Y)。 解：
X P 0 1 2 0.3 0.45 0.25 Y X 0 1 2 0.1 0.3 0.15 0.2 0.05 0 0 0.1 0.1 -1 0 2 E(X)?0.45?2*0.25?0.95，
Y P XY P
-1 0 2 0.55 0.25 0.2 E(Y)??0.55?0.4??0.15
-2 -1 0 2 4 0.15 0.3 0.35 0.1 0.1 34
E(XY)??0.3?0.3?0.2?0.2?0
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COV(X,Y)?EXY?EX?EY?0?0.95*0.15?0.1425
2. 设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布N(0,?2)，记：
U??X??Y,V??X??Y
（?,?为不相等的常数），求（1）D(U) （2）D(V) （3）?UV 解：（1）D(U)?D(?X??Y)??2DX??2DY?(?2??2)?2 (2)D(V)?D(?X??Y)??2DX??2DY?(?2??2)?2 (3)?uv?COV(UV)?0,COV(U,V)?E(U,V)?EU?EV?0,
DU?DV EU?E(?X??Y)?0?EV,E(UV)?EU?EV?0
3. 设(X,Y)服从在区域D上的均匀分布，其中D由x轴、y轴及x?y?1所围成，求X与Y的协方差cov(X,Y)。
??1?x??2,(x,y)?D?f(x,y)dy?2?dy?2(1?x),0?x?1解：f(x,y)??，fX(x)????? 0?0,其它?0,其它???1??111E(X)??xfX(x)dx??2x(1?x)dx?,E(X2)??x2fX(x)dx??2x2(1?x)dx?
??0??03611111DX?EX2?(EX)2???，同理可得：DY?,EY?,于是有
6918183111111EXY???xyf(x,y)dxdy??xdx?2ydy?,COV(X,Y)?EXY?EX?EY????D001212936
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