1.0 0.9 0.8 f(log U) 0.6 0.7 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 ?Ni?Nij ??????????????????????????????
正态分布的频率分布曲线为一单峰状钟形曲线（图7.2.2），由最高点对称地向两侧迅速下降，当表示元素含量的X值趋于正负∞时，曲线以X轴为渐近线，样品频率f(X)或f(1gX)逐渐趋近于零。曲线最高点的横座标(??称为正态分布的均值，被研究元素的自然底数与其相当，图上的?值为变量X或1gX的均方差，当样品数N很大时，计算均方差（S）接近于?，，在正态概率格纸上所绘出的正态分布累积频率?(X)或??lgX)的分布，则为一直线。正态分布的横座标X值与纵座标频率f(X)及累积频率中?(X)有如下的对应关系。
由于水化学调查所采集的样本往往是多个水文地球化学单元组成的复合母体，因此它常常不具有标准正态分布的特征。因此在统计底数时，可采取三种方案：①扩大组距，使复杂的多峰曲线变为较简单的单峰曲线；②对样本分布曲线进行修正后再展直；③区分出明显不同水文地球化学单元的母体，分别统计底数。
log U 3. 复合母体扩大组距展直法
水化学调查样本常是一个多子体的复合母体，采用小组距作频率分布曲线时，常得到的是一条复杂的多峰曲线，有时子体对象并不清楚。这时可通过扩大组距来得到一条近似单峰的曲线，然后用φ(U)＝0附近的样组点的回归线来代替展直线。
例7.2-1：某地区一批花岗岩水样中铀含量的分析结果列于下表，分析不同分组方案对背景值的影响。
表7.2.1 某地花岗岩水中铀含量(10ppt)统计表
U, 1.23 2.75 5.2 7.8 12.5 20 N 610 1376 512 83 165 96 30 52 101 181 78 62 125 200 300 520 780 1250 2000 3000 5200 7800 50 65 51 24 15 11 3 0 1 0 水中铀含量的分布直方图和分布曲线见图7.2-3。由图7.2-3可见，统计底数时取铀含量为0～
2000ppt的分布范围较为合适。以下就U=0～100ppt，0～2000ppt和0～20000ppt三种不同的含量范围来统计底数，并比较统计结果。 （1） U=0～100 ppt
制作频率分布统计表(表7.2.2)频率分布曲线(图7.2.4A)和展直线图(图7.2.4B).
表7.2.2 频率分布统计表(U＝1～100 ppt ；组距L = 1.25 cm)
分组( U 10 ppt) 平均值 频数,N 频率,f Σf φ(u) 1～1.778 1.33 610 23.69 23.69 -0.68 1.778～3 2.26 1376 53.20 76.89 0.74 3～5.62 4.73 512 19.88 96.78 1.85 5.62～10 7.50 83 3.22 99.99 3.09 6
0.60
图7.2.3 某地花岗岩水中铀含量分布图
I－地表水；II－风化壳地下
水；III－花岗岩裂隙水；IV－第四系冲积层水和异常水
3.000.500.402.00f0.30?(U)1.000.200.000.100.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.00-1.000.200.300.380.400.500.570.600.700.770.800.980.901.00log U (10 ppt) A
log U (10 ppt) B
图7.2.4 某地花岗岩水中铀分布图 A－铀含量频率分布 B－铀含量展直线图, 底数 = 23.0 ppt, ??????ppt
（?）?U=0～2000ppt
采取组距为2厘米和3厘米两种方案进行底数统计，频率分布统计见表7.2.3和表7.2.4，频率分布展直线见图7.2.5。
表7.2.3 频率分布统计表(U＝0～2000 ppt ；组距L = 2 cm)
分组(U 10ppt) 频数，N 频率，f Σf φ(u) ≤2.75 1986 61.4 0.29 2.75～7.8 512 15.8 77.2 0.75 7.8～20.4 344 10.6 87.8 1.17 20.4～51.3 282 8.7 96.5 1.82 51.3～131 112 3.6 100 表7.2.4 频率分布统计表(U＝0～2000 ppt ；组距L = 3 cm)
分组(U 10ppt) 频数，N 频率，f Σf φ(u) <4 1986 61.4 0.29 4～14 760 23.5 84.9 1.03 14～52 378 11.7 96.6 1.83 52～174 112 3.4 100 7
（?）?U＝0～20000 ppt?
采取组距为2厘米和3厘米两种方案进行底数统计，频率分布统计见表7.2.5和表7.2.6，频率分布展直线见图7.2.6和7.2.7。
?
在作展直线时，应主要参考(U)=0左右的样组点来划那条回归线（图7.2.7中的虚线a），它能更好地代表背景场的分布范围。若用全部样组点来制作回归线（图中的实线b），则用它来确定均方差和异常值下限，其结果将明显偏高。因为该回归线代表的是复合母体，许多其它子母体（包括矿化异常）的信息也包含在其中，因此用实线b确定的均方差和异常下限，将会丢失矿化异常的信息。
表7.2.5 频率分布统计表(U＝0～20000 ppt ；组距L = 2 cm)
分组(U 10ppt) 平均值 频数，N 频率，f Σf φ(u) 1～2.5 1.58 610 15.43 15.43 -1.02 2.5～6.3 4 2498 62.97 78.40 0.79 6.3～15 10 248 6.27 84.67 1.02 15～40 25 147 3.72 88.39 1.19 40～100 63 243 6.15 94.45 1.7 100～250 129 115 2.91 99.34 1.95 250～630 400 75 1.90 100 2.5 630～1500 1000 26 0.66 表7.2.6 频率分布统计表(U＝0～20000 ppt ；组距L = 3 cm)
分组(U10ppt) 平均值 频数，N 频率，f Σf φ(u) 0.63～2.5 1.29 701 17.41 17.41 -0.94 2.5～10 5 2070 59.08 76.49 0.72 10～40 20 362 10.33 86.52 1.105 40～150 80 293 8.36 95.18 1.66 150～630 300 140 4.00 99.17 2.4 630～2500 1250 29 0.83 100
200018001600140020001800160014001200N12001000800600400200N10008006004002000.000.501.001.502.002.503.003.504.0000.000.511.021.532.042.553.063.574.08log U (10 ppt)log U (10 ppt)
8
图7.2.6 某地花岗岩水中铀含量频率分布线图 A－组距＝2厘米；B－组距＝3厘米
由图可见，不同的含量统计范围，求得的底数差别很大。不同的统计方案求得的底数具有不同的含义，应选用符合工作要求的统计方案求得的底数值。
3.003.002.00a1.002.00b?(U)1.00a?(U)0.00b0.00-1.00-2.000.000.630.501.001.502.002.462.503.003.13.50-1.000.000.500.831.001.502.002.502.593.003.163.50log U (10 ppt)log U (10 ppt)
A： B：
A
3
B
A－组距＝2厘米；B－组距＝3厘米；
b:φ(U) = 1.2064 U - 1.1361, μ=0.63 = 42.66 ppt,μ+σ=3.1 =12.6 ppb；a:φ(U) = 1.7132 U - 1.2076, μ=0.63 = 42.66
3
ppt,μ+σ=2.46 = 2.8 ppb;
3
b:φ(U) = 1.2753 U - 1.0452, μ=0.83 = 67.6 ppt,μ+σ=3.16 =14.5 ppb；a:φ(U) = 1.6980 U - 1.4030, μ=0.83 = 67.6
3
ppt,μ+σ=2.58 =3.8 ppb;
图7.2.7 某地花岗岩水中铀含量展直线图
例 ????? 某地区寒武系碳板岩水中铀含量底数统计。碳板岩水样中铀含量的分析结果列于表.7.2.7A
表7.2.7A 某地寒武系碳板岩中铀含量(10-8g/L)表
U N 1.3 2.6 7.8 4 21 13 13 33 20 17 26 20 65 33 100 6 140 8 180 1 220 3 260 8 520 7 780 1300 2600 7800 13000 2 3 4 2 4 进行铀含量分布频率和U函数统计（表7.2.7B），并制作含量分布直方图和含量分布曲线分
别见图7.2.8和图7.2.9。
表7.2.7B 某地寒武系碳板岩中铀含量分布频率和U函数
U 1.3 N 4 f 2.51 Σf 2.51 φU -1.96 2.6 21 13.2 15.7 -1.0 7.8 13 8.17 23.9 -.71 13 33 20.7 44.6 -.13 20 17 10.7 55.3 0.14 26 20 12.6 67.9 0.46 65 33 20.7 88.6 1.21 100 6 3.77 92.4 1.43 140 8 5.03 97.4 1.95 180 220 260 520 780 1300 2600 7800 13000 1 3 8 7 2 3 4 2 4 0.62 1.88 98.1 99.9 2.07 3 A B
图7.2.8 碳板岩水样中铀含量的分布直方图（A）和分布曲线（B）
由上图可见，该样本可能由两个以上水文地球化学单元组成的复合母体。
9
采取???、???、???厘米三种不同组距制作频率分布曲线?见相应的表????????、和图???????，可见???厘米分组分案可反映复合母体的分布特征。
表7.2.8 某地寒武系碳板岩中铀含量(10频率分布曲线(L＝???厘米?
组距 1～1.8 U N 4 f 2.34 2.34 Σf φ(U) -2.00 1,8～3 3～5.2 5.2～9.2 9.2～16 16～28 28～49 49～75 75～145 145～260 260～440 440～780 21 0 12.28 0 14.64 14.64 -1.05 -1.05 13 7.60 22.22 -0.77 33 19.30 41.52 -0.21 37 21.64 63.16 0.29 0 0 63.16 0.29 33 19.30 82.46 0.93 9 5.26 87.72 1.16 12 7.02 94.74 1.62 0 0 94.74 1.62 9 5.26 100 3.09 表7.2.9 某地寒武系碳板岩中铀含量(10ppt) 频率分布曲线(L＝???厘米?
组距U 0.94～1.9 1.9～2.5 2.5～8.2 8.2～17 N 4 21 13 33 f 2.23 11.73 7.26 18.44 2.23 13.96 21.22 39.66 Σf -2.01 -1.08 -0.80 -0.26 φ(U) 17～36 37 20.67 60.33 0.26 36～76 33 18.44 78.77 0.80 76～160 160～330 330～700 700～1399 14 12 7 5 7.82 6.70 3.91 2.79 86.59 93.29 97.21 100 1.11 1.50 1.91 3.09 表7.2.10 某地寒武系碳板岩中铀含量(10ppt) 频率分布曲线(L＝???厘米?
组距 U N f Σf φ(U) 0.52～2.1 4 2.23 2.23 -2.01 2.1～5.2 21 11.73 13.96 -1.08 5.2～13 46 25.70 39.66 -0.26 13～31.5 37 20.67 60.33 0.26 31.5～84 33 18.44 78.77 0.80 84～210 15 8.40 87.17 1.14 210～520 18 10.06 97.22 1.91 520～1300 5 2.78 100 3.09
4. 修正展直法
复合母体多数不具标准正态分布特征，为了消除复合母体中特征因素的影响，利用正态分
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