布曲线中的特征点的高度与均方差之间的关系（表7.2.11）对复合母体的频率分布曲线进行修正。这种关系示于图中7.2.12。
表7.2.11 正态分布曲线中的特征点的高度与均方差之间的关系 横座标(x) ? ??? ???? ???? 频率f(x) f(???0.607f(???0.135f(???0.011f(???累积频率?(x) 50% 15.9%,84.1% 2.3%,97.7% 0.1%,99.9% 按照正态分布原理，确定自然底数的一般步骤如下： 第一、将放射性水化学取样分析结果绘制成频率分布曲线
（1）在统计单元的全部分析数据中（每个取样点只取一次分析数据）经初步比较，先剔除那些明显的异常水样，然后将最低至最高值的区间划分为数个含量等级，即所谓分组。一般划分为7～10组为宜，并应基本达到每组有4～5个以上数据。通过在算术或对数座标轴上做散点图的办法，可以帮助我们选择合适的组距和确定组上限和组下限的位置。
例如：某花岗岩地区进行了水化学普查，为确定其中某一统计单元地下水中铀的自然底数，样品数N0=112。最低至最高含量区间划分为10组（图7.2.12）。
图7.2.12 修正展直法确定自然底数
（2）在散点图上数出或用唱票的方法统计出各组的样品数?N（频数），算出各组占样品总数的百分数（频率）
?NN0（%），记入统计表内。
?NN0 （3）在直角座标图上以纵座标表示频率（%），以横座标表示元素的含量（铀等微量金属元素用对数座标）。按组中值（用对数座标时，其组中值位置在组距L长的1／2处）和频率将各组分别标于座标系上，依次连接各点即得出频率分布曲线。
当水化学普查的取样结果，完全符合上述正态分布曲线形态时，频率曲线的峰值对应含量
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即为元素的自然底数。然而实际上常常由于分析测定方法灵敏度的限制，低含量部分的测量精度低，使曲线的左翼产生严重畸变。而当有相当数量的低异常样品混人时，曲线右翼也会表现出不同程度的畸变，使整个曲线呈正偏形态。此时为使曲线反映出水中放射性元素正态分布的客观事实，必须按正态分布理论对曲线进行修正，才能正确地求出自然底数。 第二、根据正态分布理论，修正频率分布曲线
（1）在图上确定与曲线峰值相对应的横座标位置CU，并从图上量得曲线峰值(N0)max的高度。在实例中，该高度等于7.7厘米。
（2）确定均方差S值。已知己CU＋S位置处的频率应等于0.607倍的峰值频率，因此在纵座标的0.607(
?NN0?NN0?N)max 的高度上，划一平行于横座标的直线，与曲线右翼相交，该交点的横座标对
应点即为己CU＋S位置。量出CU至己CU＋S距离。则得出均方差S的大小。在实例中，0.607(
)max 的高度等于4.7厘米。
?NN0?NN0（3）在横座标上自己点向右量出S的2倍和3倍距离，便得出己CU＋2S、和己CU＋3S的位置。根据CU＋2S的频率等于0.135(确定其相应的点位。
?NN0)max、CU＋3S的频率等于0.011(
?NN0)max 的道理，在图上
实例，0.135()max 高度等于1厘米；0.011()max 高度近似于0.1厘米。 （4）依次连接上述各点便得出修正后的频率分布曲线（图上的虚线部分）。
第三、按修正后的频率分布曲线绘制累计频率分布曲线，为纠正由于样品分组统计所造成的频率分布曲线峰值的偏移，还需按如下步骤绘制展直座标图。
（1）根据修正后的曲线重新求出曲线右翼每组参与计算的样品数?N’和应参加计算的样品总数N0’。曲线的末修正部分?N’＝?N。修正部分的各组，?N’等于组中值在修正曲线上所对应的频率乘以样品总数N0。在图7.2.12上，第七组在修正曲线上的频率为3.3，则?N’=3.3%×112≈4；“第八组在修正曲线上的频率为0.3，?N’＝0.3%×112≈l。
按修正后的各组样品数，求出参加修正后的样品总数，N0’＝74。
（2）根据修正后的样品总数N0’和各组样品总数?N’，算出各组修正的频率
??N N0?NN0和累积频率
，并列于表内。
（3）按照各组的组上限及修正后累积频率，将各组标点于正态概率格纸上，再接这些点分布的总趋向划一直线，即为展直线。
（4）展直线上，对应累积频率为50% 的点的横座标值，即为所研究元素在水中含量的自然底数。
例中CU底＝1.54×106 克／升，
（5）展直线上对应累计频率为84.1%、97.7%、99.9% 的各点的横座标值，分别为自然底数加一倍，二倍、三倍均方差的含量值。在实际工作中，我们把它们分别理解为元素的偏高值、增高值和异常值。该增高值即为通称的异常下限。
为简便起见或在没有概率格纸的情况下，也可以在原频率分布曲线图上，将纵座标轴截成任意比例尺的等长尺度，用以表示u值，自上而下标以3、2、1、0、-1、-2、-3数字（图7.2.12）。然后从累积函数?(u)的数值表中，查出各组的u值。按组上限值及u值在图上标绘出各组点位，同样按各点的总趋向划一直线，得出展直线。在该展直线上对应纵座标为0、1、2、3各点的横座标值，同样为被研究元素的自然底数、偏高值、增高值和异常值。
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5. 近似计算法
当样品的频率分布曲线完全符号正态分布曲线时,也可用计算法近似地求出自然底数值。 首先由曲线最大高度的0.796倍位置，作横座标的平行线，使之与两冀相交，然后从横座标读出与以上两交点相对应的含量值CXa，和CXb，计算出该含量区间所有样品的平均值当作自然底数。
Na?bCXd??C1Na?bXNa?blogCXd??logC1XNa?b （7.2.1）
式中，CXd一水中某放射性元素的自然底数； Na-b一所采用含量区间CXa、CXb内的样品总数； CX一样品中某元素的含量。微量金属元素(如铀)按对数式计算。
按这种方法求底数，参加计算的样品数约占样品总数（不包括异常样品）的百分之五十。
6. 图解法
首先按前述方法对样品分组，求出各组的样品频数，做出频数分布直方图（图7.2.13）。在频数最大的直方内连接S、Q及P、T各点，其交点对应的横座标含量值M0为其众数，当做自然底数。
M0值亦可按下式算出:
M0?X0?i(f2?f1)2f2?f1?f3
（7.2.2）
式中，X0—为众数所在组的组下限值； i—为组距； f1—为众数所在组的前一组的频数， f2—为众数所在组的频数。 f3—为众数所在组的后一组的频数。
对比以上各种方法不难看出—运用座标展直法确定自然底数，有其优越性。天然水中微量金属元素和放射性元素含量为底数状态时，以服从正态分布为依据。经过对实际频率曲线的修正，从而消除了工作中的人为因素和低异常样品的影响，使所求出的底数值尽量地符合于客观
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事实。从频率曲线上亦便于发现实际工作的质量不足，检查统计单元划分得是否合理。不合理时往往出现严重的畸变或为多峰曲线。
7. 复合母体中子母体的鉴别与分离
（1） 特征性参数对比法鉴别母体
特征性参数对比包括平均值对比和方差对比。如图7.2.14所示,不同的母体，其特征性参数有显著的不同，因此可用特征性参数对比法鉴别两个不同水文地球化学单元是否属于同一母体。
在用特征性参数对比法鉴别两个不同水文地球化学单元是否属于同一母体时，先进行方差对比，在方差无显著性差别时再进行平均值对比。
方差对比是通过建立方差比统计量F，然后将其与F临界值进行对比，大于临界值时，两母体有明显差别，它们不是同一个母体。设一有x1,i和x2,i两个子样，F统计量的计算公式如下：
F?S122S2?11(x1i?x1)2N1?1i?1?N1N2?1?(x2i?x2)2
（7.2.3）
平均值对比分大子样(N1、N2都大于30)和小子样两种情况。大子样采用u检验，小子样采用t检验法。将它们与临界值对比，小于临界值时说明两母体无明显差别。u和t统计量的计算方法如下:
u?x1?x22S12S2?N1N2 （7.2.4）
t?x2?x1S2/N2 （7.2.5）
（2）方差分析
方差分析是根据组间方差(的临界值F?作比较。
SA)和组内方差(SB)之比构成的F统计量，与给定显著性水平下
SA = Q-P SB = R-P
（7.2.6） （7.2.7）
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S总 = SA + SB = R-P （7.2.8）
式中，SA—组间差平方和；SB—组内差平方和；S总—总平方和。
1??P?ab??
??i?1b?1xij?；Q??N1j?1?a2?????i?1?b?xij?；R??j?1?a2??xi?1j?1ba2ij （7.2.9）
式中，a－子样的样品数；b－子样数 下面举例介绍方差分析的简算法。
例7.2.3 表7.2.12列出两个子样的水中铀含量，分析它们是否可看作为同一个母体进行底数统计？
表7.2.12 水中铀含量(10-5克/升)
I II 3.86 6.21 3.76 4.71 3.53 6.50 3.85 7.16 3.30 7.04 按公式7.2.5~9计算并制作方差分析简算表A和B.
表7.2.13 方差分析简算表(A)
子样号 I II ? -1.55 0.80 铀含量(10-5克/升)-任意数(5.41) -1.68 -0.70 -1.88 1.18 -1.56 1.75 -2.11 1.63 -8.78 4.66 -4.12 j?1?xaij 77.088 21.715 98.803 ?a???xij??j?1?2 15.645 8.242 23.887 j?1?xa2ijP=(1/(5×2))×(-4.12)2=1.697 Q=(1/5)(98.803)=19.761 R=23.887
表7.2.14 方差分析简算表(B)
平方和 SA =Q-P SB=R-Q S总=R-P 18.064 4.126 22.19 自由度 1 8 9 方差S 18.064 0.516 F?SASB F0.05 5.318 F0.01 3.458 差别显著性 显著 35.025 由表7.2.13中方差分析计算结果可见，该两个子样并非来自同一个母体。
（3） 图解法分离复合母体中子的母体：
当组成复合母体的子母体的分布特征差别较大时，需要将它们分开。例如图7.2.15所示，该子样明显地由两个母体组成。曲线中c～f段是它们发生重叠的部分。根据第一个母体的曲线的左半部修正其右部，用a、b、c、d点的数据统计f(U)值，制作第一母体的展直线；根据第二个母体曲线的右半部修正其左部，用f、g、h、i点的数据统计f(U)值，制作第二个母体的展直线。然后对这两个母体分别求得它们的底数。
二、元素水文地球化学异常场的确定
异常场的确定根据工作任务的性质不同而不同。在找矿工作中采用底数的倍数或底数＋均方差的倍数。在水资源评价工作中采区各种类型水的使用标准。在环境评价工作中常采用对人体和对生态的危害程度作为确定异常的标准。
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