习题参考答案
2-1 已知R-L-C网络如图所示，试列写以ui为输入，uo为输出的微分方程模型。
R1i1CLi3?uii2R3?uoR2??
解： 电感方程：L电容方程：Cdi3?uo?R1i1?ui...（1） dtduc?i2...（2） dt有6个变量，列出微分方程模型时保留2个，因此要消掉4个变量，还需要列出3个方程：
由KVL：R1i1?uc?R2i2?ui...（3） 由KCL：i1?i2?i3...（4） 在输出端：R3i3?uo...（5）
将（5）代入（1）（4）可消去i3，然后将（4）代入（1）（3）消去i1得到： u?Lduo?uo?R1(i2?o)?ui?(6)??R3dtR3 ?uo?R1(i2?)?uc?R2i2?ui?(7)?R3?用方程（2）消去uc：将（7）整理为代入，得到： R1duoi2didu??(R1?R2)2?i R3dtCdtdtR1CR1uo?uc?(R1?R2)i2?ui后取时间的导数，再将（2）R3duodidu?R3i2?R3(R1?R2)C2?R3Ci...（8） dtdtdtduo?(R3?R1)uo]，代入(8)?R1得到 dt1
最后，将（6）整理为R1R3i2?R3ui?[L
duodu?{R3ui?[Lo?(R3?R1)uo]}dtdt
duid2uoduodui?(R1?R2)C{R3?[L2?(R3?R1)]}?R1R3CdtdtdtdtR12C经整理，可得到系统的微分方程模型为
(R1?R2)LCd2uoR1R2C?R1R3C?R2R3C?Lduo??uoR1?R3R1?R3dtdt2 R2R3CduiR3??uiR1?R3dtR1?R32-2 已知机械系统如图所示，其中位移xi为输入，位移xo为输出。试列写该系统的微分方程模型及其传递函数。
xiK1x1xof2f1K2
解：在阻尼器1和2取辅助点，设其位移为x1，由弹簧力和阻尼力平衡的原则，可得到
f1(xi?x1)?K1(xi?x1)?f2(x1?xo)f2(x1?xo)?K2xo
消去中间变量x1，可得到系统的微分方程模型为
f1f2?2f22fK?f2K1?f2K2fffxo?12xo?xo?12xi?2xi
K1K2K1K2K1K2K2则系统的传递函数为
f1f22f2s?sXo(s)K1K2K2 ?2ff?2ffK?fK?fKXi(s)1222122s2?12s?1K1K2K1K22-3 已知水箱系统如图所示，该系统为有自衡能力双容过程，其中C1 和C2分别为水箱1和水箱2的容量系数，R1、R2和R3分别为阀门1、阀门2和阀门3的液阻，Q1为输入，h2为输出。试列写该系统的微分方程模型及其传递函数G(s)?H2(s)。 Q1(s) 2
R1Q1h1C1R2Q2h2C2R3Q3
解：根据动态物料平衡，可列出下列增量方程： 对水箱1：
dhQ1?Q2?C11
dthQ2?1
R2对水箱2：
Q2?Q3?C2Q3?h2R3dh2 dt
从以上四个式子中消去h1、Q2和Q3，并整理得
d2h2dhC1C2R2R32?(C1R2?C2R3)2?h2?R3Q1
dtdt上式中，令T1?C1R2，T2?C2R3，则得
d2h2dhT1T22?(T1?T2)2?h2?R3Q1
dtdt对上式进行Laplace变换，并分解因式，得传递函数为
R3H(s)G(s)?2?
Q1(s)(T1s?1)(T2s?1)2-4 试求下列函数的Laplace变换，假设t?0时，函数f(t)?0。
(2)f(t)?5(1?cos2t) (1)f(t)?2sin(3t?)
6?3t(3)f(t)?ecos4t (4)f(t)?tcos3t 解：
???(1)f(t)?2sin(3t?)?2sin3tcos?2cos3tsin?3sin3t?cos3t66633ss?33?F（s）=L[f(t)]?2?2?2s?9s?9s?91s20(2)F（s）=L[f(t)]?L[5(1?cos2t)]?5(?2)?
ss?4s(s2?4)
3
?(3)F（s）=L[f(t)]?L[e?3tcos4t]?s?3s?3?2 2(s?3)?16(s?9s?25)s2?9s2?9 (4)F(s)?L[f(t)]?L[tcos3t]?2?(s?9)2s4?18s2?812s2?14s?122-5 已知某传递函数为 G(s)?4， 32s?5s?12s?18s(1) 试将传递函数化为首1标准型（零、极点形式）； (2) 求系统的静态增益K0； (3) 求系统的微分方程； (4) 求系统的零、极点。 解：(1) G(s)?(2)K0?2(s?1)(s?6) s(s?3)(s?1?i5)(s?1?i5)122? 183Y(s)2s2?14s?12(3)由G(s)?得到 ?U(s)s4?5s3?12s2?18s(s4?5s3?12s2?18s)Y(s)?(2s2?14s?12)U(s)
在零初始条件下进行Laplace反变换可得系统的微分方程
d4y(t)d3y(t)d2y(t)dy(t)d2u(t)du(t)?5?12?18?2?14?12u(t) 2dtdtdtdtdtdt(4)令分子多项式等于零，求出z1??1，z2??6，令分母多项式等于零，求出p1?0，
p2??3，p3,4??1?i5 2-6 试用结构图等效化简求下图的传递函数
??G1G2Y(s)。 U(s)G3G4U(s)Y(s)?
解：（1）将环节G3输出端的引出点后移，并将G3、G4反馈环节合并，得到图（1）； （2）将环节G2输出端的引出点后移，并将反馈环节合并，得到图（2）；
4
1G4U(s)??G1G2G3G41?G3G4Y(s)(1)
Y(s)U(s)?G1G2G3G41?G2G3?G3G41?G3G4G3G4(2)
（3）由图（2）可计算得系统的传递函数为
G1G2G3G4Y(s) ?U(s)1?G1G2?G2G3?G3G4?G1G2G3G42-7 已知系统方程组如下：
ìX1(s)=G1(s){U(s)-[H3(s)-H4(s)]Y(s)}?????X2(s)=G2(s)[X1(s)-H1(s)X3(s)] í?X3(s)=G3(s)[X2(s)-Y(s)H2(s)]??????Y(s)=G4(s)X3(s)试绘制系统结构图，并求闭环传递函数
Y(s)。 U(s)解：由系统方程绘制系统结构图如下所示，该系统有4个独立环路：L1=-G2G3H1，
L2=-G3G4H2，L3=-G1G2G3G4H3，L3=G1G2G3G4H4，有1条前向通路，其前向通
路的传递函数分别为F，D1=1。 1=G1G2G3G4U(s)?X1(s)?G2H1X2(s)G1?G3X3(s)G4Y(s)H2?H3H4
由Mason增益公式可直接写出系统的传递函数为
G1G2G3G4Y(s)F1D1 ==U(s)D1+G2G3H1+G3G4H2+G1G2G3G4H3-G1G2G3G4H4
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