4-6 设系统的开环传递函数为
G(s)?其中K，T1，T2，T3，T4>0。
K(T1s?1)
s2(T2s?1)(T3s?1)(T4s?1)（1）已知T2?T3?T4?T1，试概略绘制该系统的Nyquist图。 （2）若T2?T3?T4?T1，请概略绘制该系统的Nyquist图。 解：（1）G(i0)??e??i180?，而且对于小正数?，有
?G(i?)??180??(T2?T3?T4?T1)???180?
G(i?)?0e?i360?， 概略绘制的Nyquist图如下
ImG??0????（2）G(i0)??e??i180?OReG
，而且对于小正数?，有
?G(i?)??180??(T2?T3?T4?T1)???180?
G(i?)?0e?i360?，概略绘制的Nyquist图如下
ImG
4-7 设系统的开环频率特性函数的极坐标图如图所示。试用Nyquist稳定性判据判定闭环系统的稳定性。
ImGImG??0?O???ReGImG?1???o??0ReG??0?1??????ReG?1oo??0ReG
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开环系统稳定 开环系统稳定 开环系统有2个RHP极点
解：（1）P=0，wn?2，N= P+wn=2，闭环系统不稳定，有2个RHP极点。 （2）P=0，wn?1，故N= P+wn=1，闭环系统不稳定，有1个RHP极点。 （3）P=2，wn?-2，故N= P+wn=0，闭环系统稳定。 4-8已知系统开环传递函数
L(s)?图，据此判定闭环系统的稳定性。
K
s(Ts?1)把虚轴上的开环极点视为不稳定的开环极点，重新确定Nyquist路径，并绘制L(s)的Nyquist
解：s平面小圆弧顺时针的路径映射为L(s)平面逆时针的大圆弧。
i?i???0?ImLi0?R??Or?0i0??i???0??1????OR1??ReL
??0?
Nyquist路径 L(s)的Nyquist图 wn =-1（逆时针）， P=1，N=0，闭环系统稳定。
4-9已知最小相位（单位反馈）开环系统的渐近对数幅频特性如图所示。 （1）试求取系统的开环传递函数；
（2）要求系统具有30?的稳定裕度，求开环放大倍数应改变的倍数。
dB?20dB/dec40?40dB/dec0.110??60dB/dec
解: (1) 由图可得出系统开环传递函数的基本形式为
G(s)?K
s(10s?1)(0.1s?1)将点(0.1，40)代入上式，因低频段幅值仅由比例环节和积分环节决定，即
K20logG(i0.1)?20log?400.1求得 K=10，所求系统开环传递函数为
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G(s)?10s(10s?1)(0.1s?1)(2)由相角裕度的定义
?m?180??90??arctan10?c?arctan0.1?c?30?导出
10.1?c2arctan?60?3?c?10.?1?3 0c?21??c解出
由交越频率的定义有
?c?0.17
K?1
|G(i?c)|?0.171.7?10.017?122解出K=0.335。即开环放大倍数衰减30倍。
4-10 已知系统的开环传递函数为
400(25s2?15s?9)G(s)?2
3s(s?0.2)(s?12)(s?50)（1）用渐近线法绘制系统的开环Bode图； （2）由Bode图判断闭环系统的稳定性； （3）求出交越频率以及相角裕度的近似值；
（4）由MATTAB作Bode图，求出交越频率和相角裕度，并与渐近线图解比较。 解：（1）首先将G(s)化为尾1标准形式
400(25s2?15s?9) G(s)?23s(s?0.2)(s?12)(s?50)210?(5s/3)?5s/3?1???=
s2(5s?1)?s/12?1??s/50?1?
知该系统为典型Ⅱ型系统，各环节转折频率为0.2、0.6 、12、50rad/s，20lgK=20lg10=20，过?=1，|G(iω)|dB=20的点，作斜率为-40的直线，遇到转折频率0.2、0.6 、12、50时，相应地直线斜率变化，如下图所示。
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dB604020-40-600.10.20.61-20501210010?-40-60121050100-90o-135o-180o-225o-270o?G(i?)0.10.20.61?
?（2）P=0，wn?2(c?c)?2(1?1)?0故N= P+wn=0，闭环系统稳定。
?400?25?c2（3）由|G(i?c)|?=1 ，解得?c?5.56，
3?c2??c?12?5015?c?m?180???G(i?180)?180??arctan?180?29?25?c
?? ?arctan5?c?arctanc?arctanc?54.62?1250（4）MATTAB程序校验
>>num=400/3*[25 15 9];
den=conv([1 0.2 0 0],[1 62 600]); bode(num,den); grid on
Bode Diagram200Magnitude (dB)Phase (deg)1000-100-200-90-135-180-225-27010-210-1100101102103104Frequency (rad/sec)
>> [Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(num,den)
Gm =10.7036；Pm =56.7919；Wcg =23.9829；Wcp =5.0533
交越频率为5.05rad/s，相角裕度为56.8?，这与近似计算值非常接近。
4-11 已知各最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如图所示， （1）试确定各系统的开环传递函数； （2）求相角裕度；
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（3）概略画出对应的相频特性曲线； （4）分析闭环系统的稳定性。
dB60|L(i?)|?40dB/decdB40?20dB/dec?20dB/dec1020|L(i?)|?20dB/dec?40dB/dec00.112(a)?40dB/dec?60dB/dec?2015500.1100?60dB/dec?(b)
解：I. 针对(a)图：
(1)如图，转折频率为2、10、20。该系统为典型Ⅱ型系统，其开环传递函数形式为
G(s)?K(0.5s?1) 2s(0.1s?1)(0.05s?1)1?60 0.120lgK+40lg即20lgK=20，解得K=10。
该系统的开环传递函数为
10(0.5s?1)
s2(0.1s?1)(0.05s?1)(2)20=40lg?2+20lgc即20=20lg(2?c) ，解得?c=5，由此 12
?m?180??arctan0.5?c?180??arctan0.1?c?arctan0.05?c?27.60?(3) ?G(i?)?arctan0.5??180??arctan0.1??arctan0.05?
?G(i?)-135o21510201000.1ω-180o-225o-270o??
(4)P=0，wn?2(c?c)?2(0?0)?0，故N= P+wn=0，闭环系统稳定。 II. 针对(b)图：
(1)设未知转折频率从左至右依次为?1?1/T1、?2?1/T2、?3?1/T3、?4?1/T4，
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