N(s)R(s)?1s?2Y(s)3s(s?1)
3-13题图
?0—MdK1—K2K3s3-14题图
?0.5s2?0.2s?1
3-14 如图是船舶横摇镇定系统结构图，引入内环速度反馈是为了增加船只的阻尼。
（1）求海浪扰动力矩对船只倾斜角的传递函数?(s)/Md(s)；
（2）为保证Md为单位阶跃输入时倾斜角?的值不超过0.1，且系统的阻尼比为0.5，求K1、K2和K3应满足的方程；
（3）K2=1时，确定满足（2）中指标的K1和K3值。 解：（1）由Mason公式得到
0.52?(s)s?0.2s?1?0.5K2K3s0.5K1K2Md(s)1?2?2
s?0.2s?1s?0.2s?10.5?2s?(0.2?0.5K2K3)s?(1?0.5K1K2)（2）扰动Md(s)?1/s。由Laplace变换的终值定理，倾斜角?的稳态值
?(?)?lims?(s)?s?00.5?0.1，得到K1K2?8。
1?0.5K1K20.5，即
系统的阻尼比为
0.2?0.5K2K321?0.5K1K2?0.5，可简化为
16
0.2?0.5K2K3?1?0.5K1K2。
即应满足K1K2?8，0.2?0.5K2K3?1?0.5K1K2。 （3）K2=1时，K1?8，K3?21?0.5K1K2?0.4。
3-15 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试绘制系统的常规根轨迹。
K
s(s?1)(s?3)K（2）G(s)? 2s(s?2)(s?4s?20)（1）G(s)?解：根轨迹如图。步骤略。
Root Locus6Root Locus86442Imaginary AxisImaginary Axis20-2-40-2-4-6-8-10-6-10-8-6-4-2024-50Real Axis510Real Axis
3-15（1）根轨迹 3-15（2）根轨迹
3-16 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试绘制以a为变量的参数根轨迹。 （1）G(s)??2s(s?2a?)
（2）G(s)?as?25
s(s?4)解：
（1）闭环系统特征方程为
1?G(s)?1?解出a得到
?2s(s?2a?)?0
?s2??2a?
2?s变换为
a?2?s??1
s2??2
17
实际上就是绘制G*(s)?2?s的常规根轨迹。
s2??2i???o?i?系统有2条根轨迹分支，起始于极点p1,2实轴负无穷。起始角满足相角条件
??i?，一条趋向零点z1?0，另一条趋向
?1??2??1?(2k?1)180?
可得到起始角为180?。分离点满足方程解出d???。根轨迹如图。 （2）闭环系统特征方程为
111222??，经整理得2d?d??，dd?i?d?i?1?G(s)?1?解出a得到
as?25?0
s(s?4)s2?4s?25a??
s变换为
a?s??1 2s?4s?25*实际上就是绘制G(s)?s的常规根轨迹。
s2?4s?25 18
p1?5op2
系统有2条根轨迹分支，起始于极点p1,2??2?i26，一条趋向零点z1?0，另一条趋向实轴负无穷。起始角满足相角条件
?1??2??1?(2k?1)180?
可得到p1起始角为90??(180??arctan6)?202.2?。分离点满足方程
111，解出d??5。根轨迹如图。 ??dd?p1d?p23-17 已知单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?K。希望系统的所有特征根位于s
s(s?a)平面上s＝－2的左侧区域，且阻尼比0.5???0.707。求K和a的取值范围。 解：先画出根轨迹。如图所示。
??0.5??0.707?ao
分别做出??0.5和??0.707的等阻尼线，它们与负实轴夹角分别为??arccos??60和??45?。它们与根轨迹的交点分别为
19
??11??a/2?i3a/2 ?12??a/2?ia/2 2闭环系统特征多项式为D(s)?s?as?K。??0.5时特征根为?a/2?i3a/2，
可得到
K1?a2
??0.707时特征根为?a/2?ia/2，可得到
K2?a2/2
因此K的取值范围是
a2/2?K?a2
为了使所有特征根位于s平面上s＝－2的左侧区域，应使?a/2??2。即a的取值范围是a?4。
3-18 已知单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?K。试确定系统在阻尼比
s(s?2)(s?5)???0.5时对应的K值以及相应的闭环极点，估算此时系统的动态性能指标。
解：先画出根轨迹。做出??0.5的等阻尼线，它与负实轴夹角为??arccos??60。如图所示。等阻尼线与根轨迹的交点即为相应的闭环极点，可设相应两个复数闭环极点分别为
?1????n?i?n1??2??0.5?n?i0.866?n ?2????n?i?n1??2??0.5?n?i0.866?n
??0.5
闭环特征多项式为
D(s)?(s??1)(s??2)(s??3)?s?(?n??3)s?(???3?n)s??3?同时
20
322n2n