二次方程无解． 二、探索新知
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
?b?b2?4ac 问题：已知ax+bx+c=0（a≠0）且b-4ac≥0，试推导它的两个根x1=，
2a2
2
?b?b2?4acx2=
2a 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c?也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：ax2+bx=-c
bcx=- aabb2cb2
配方，得：x2+x+（）=-+（）
a2aa2a 二次项系数化为1，得x2+
b2b2?4ac 即（x+）= 24a2a ∵b2-4ac≥0且4a2>0
b2?4ac ∴≥0
4a2b2?4acb 直接开平方，得：x+=±
2a2a?b?b2?4ac 即x= 2a?b?b2?4ac?b?b2?4ac ∴x1=，x2=
2a2a 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，?
?b?b2?4ac将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．
2a （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1．用公式法解下列方程．
（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 解：（1）a=2，b=-4，c=-1
b2-4ac=（-4）2-4323（-1）=24>0
x=
?(?4)?244?262?6??
2?2422?62?6，x2= 22 ∴x1=
（2）将方程化为一般形式
3x2-5x-2=0
a=3，b=-5，c=-2
b2-4ac=（-5）2-4333（-2）=49>0
x=
?(?5)?495?7?
2?36 x1=2，x2=-
1 3 （3）将方程化为一般形式
3x2-11x+9=0
a=3，b=-11，c=9
b2-4ac=（-11）2-43339=13>0
∴x=?(?11)?1311?13?
2?3611?1311?13，x2= 66 ∴x1= （3）a=4，b=-3，c=1
b2-4ac=（-3）2-43431=-7<0
因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根． 三、巩固练习 教材P42 练习1．（1）、（3）、（5） 四、应用拓展
m 例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）x2?2+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？ 分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0． （2）要使它为一元一次方程，必须满足:
?m2?1?1?m2?1?0?m?1?0①?或②?或③?
?m?2?0?(m?1)?(m?2)?0?m?2?0 解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2
m2=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠0
当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1
b2-4ac=（-1）2-4323（-1）=1+8=9 x=?(?1)?91?3?
2?24 x1=，x2=-
1 21． 2 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=- （2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0
因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意．
②当m2+1=0，m不存在．
③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意．
当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：x=-1
当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0
解得x=-
1 31． 3 因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-?1时，其一元一次方程的根为x=-
五、归纳小结 本节课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程； （4）初步了解一元二次方程根的情况． 六、布置作业
1．教材P45 复习巩固4． 2．选用作业设计:
一、选择题
1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）．
A．x=
3?6?3?6 B．x=
22C．x=
3?23?3?23 D．x=
22 2．方程2x2+43x+62=0的根是（ ）．
A．x1=2，x2=3 B．x1=6，x2=2 C．x1=22，x2=2 D．x1=x2=-6
3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ ）．
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2 二、填空题
1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________． 2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．
3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____． 三、综合提高题
1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．
2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=-
bc，x1·x2=；aa（2）?求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．
3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，?那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10?元用电费外超过部分还要按每千瓦时
A元收费． 100 （1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（?用A表示）
（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况 月份 用电量（千瓦时） 交电费总金额（元） 3 4 80 45 25 10 根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？
答案:
一、1．D 2．D 3．C
?b?b2?4ac二、1．x=，b2-4ac≥0 2．4 3．-3
2a2a?4a2?4b2?4a2三、1．x==a±│b│
22．（1）∵x1、x2是ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，
?b?b2?4ac?b?b2?4ac ∴x1=，x2=
2a2a?b?b2?4ac?b?b2?4acb ∴x1+x2==-，
2aa?b?b2?4ac?b?b2?4acc x1·x2=·=
2a2aa （2）∵x1，x2是ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0
原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2
=x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c） =0
3．（1）超过部分电费=（90-A）2 （2）依题意，得：（80-A）2
129A=-A+A
10100100A=15，A1=30（舍去），A2=50 10022.3 实际问题与一元二次方程(1)
教学内容
由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．
教学目标
掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题． 通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题． 重难点关键
1．重点：用“倍数关系”建立数学模型
2．难点与关键：用“倍数关系”建立数学模型 教学过程
一、复习引入
（学生活动）问题1：列方程解应用题
下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结果时的价格）：
星期 一 甲 乙 12元 二 三 四 五 13.75元 12.5元 12.9元 12.45元 12.75元 13.5元 13.3元 13.9元 13.4元 某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等），则在他帐户上，星期二比星期一增加200元，?星期三比星期二增加1300元，这人持有的甲、乙股票各多少股？
老师点评分析：一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙股票各x、