请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，EA是⊙O的切线，CB的延长线与EA相交于点E，AB＝AD.
求证：AB2＝BE·CD.
23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
?x＝3＋5cos θ，?已知曲线C的参数方程为?(θ是参数)，P是曲线C与y轴正半轴的交
??y＝5sin θ
点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点P与曲线C只有一个公共点的直线l的极坐标方程．
24． (本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知x≥－13，关于x的不等式|x－3|－|2x＋10|＋x＋15－2|a＋13|≥0的解集不是空集，求实数a的取值范围．
详解答案 一、选择题
1．D 依题意得T?S，因此a＝1或a＝2，故选D.
m2ma2
2．C 由几何概率的意义可知，图形Ω面积的估计值为×a＝，故选C.
nnS6－S3
3．A 记题中的等比数列的公比为q.依题意有S6＝9S3，∴S6－S3＝8S3，∴＝8，
S3
即q3＝8，得q＝2，故选A.
??a－2b?＝0，?a·?4．B 记向量a，b的夹角为θ.依题意得即|a|2＝|b|2＝2a·b＝2|b|2cos θ，?b·?b－2a?＝0，?
1ππ
cos θ＝，θ＝，即向量a，b的夹角为θ＝，故选B.
233
1416π
5．C 依题意得，该几何体是一个半球，其体积等于×π×23＝，故选C.
2336．C 依题意得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≤0的解集是[－2,3]，于是有3a＞0，－2＋3＝－2bc3a
，－2×3＝，解得b＝－，c＝－18a，函数f(x)在x＝3处取得极小值，于是有f(3)＝3a3a281
27a＋9b＋3c－34＝－115，－a＝－81，a＝2，故选C.
2
?a2＋b2＋a＝8，
7．D 依题意，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则有a＋b＋a－bi＝8－4i，?
?b＝4，
22
由此解得a＝3，b＝4，z＝3＋4i，故选D.
8．A 依题意得，要使两弧之差最大，注意到这两弧的和一定，因此就要使其中的一弧长最小，此时所求直线必与MP垂直，又点P(2,0)，因此直线MP的斜率等于2，因此所1
求的直线方程是y＋2＝－(x－1)，即x＋2y＋3＝0，故选A.
2
9．C 依题意得(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2，因此数列{an＋1－an}是以1为首项，2为公差的等差数列，an＋1－an＝1＋2(n－1)＝2n－1，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…?n－1??1＋2n－3?＋(an－an－1)＝1＋1＋3＋…＋(2n－3)＝1＋＝(n－1)2＋1＝n2－2n＋2，又a1
2＝1＝12－2×1＋2，因此an＝n2－2n＋2，故选C.
11
10．B 依题意得，函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，不等式4f(logx)＞3等价于f(log
881?31111111
x)>，f(|logx|)＞f?，|logx|＜，即－＜logx＜，由此解得＜x＜2，故选B. ?3?48833832
11．B 对①，当x1＝0时，x2不存在；对②，任意的x1，存在唯一一个x2(x2＝－x1)使π
得f(x1)f(x2)＝1成立；对③，当x1＝1时，x2不存在；对④，当x1＝时，x2不存在．
2
451
12．D 对于A，当a1＝m＝时，a2＝，a3＝a2－1＝，a4＝4，a5＝3，因此选项A正
544
????m＞1，
确．对于B，当a3＝2时，若a2＞1，则a3＝a2－1＝2，a2＝3，?或?1
?m－1＝3??＝3，
0＜m≤1，
?m
?m＞1，
111?
由此解得m＝4或m＝；若0＜a2≤1，则a3＝＝2，a2＝，?13a22m－1＝?2?
0＜m≤1，??
或?11??m＝2，
313
由此解得m＝，因此m的可能值是，，4，选项B正确．对于C，当m＝2时，a1＝2，
232a2＝2－1，a3＝2＋1，a4＝2，a5＝2－1，a6＝2＋1，…，此时数列{an}是以3为周期的数列，因此选项C正确．综上所述，故选D.
二、填空题
13．解析： 依题意，执行题中的程序框图，最后输出的S＝2×(1＋2＋3＋…＋20)＝20×?1＋20?
2×＝420.
2
答案： 420
14．解析： 依题意得7x＋8×7＋9×8＝(x＋7＋8)×8.15，由此解得x＝5. 答案： 5
?1csin Csin?B＋60°
15．解析： 依题意得b2＋c2－a2＝2bccos A＝bc，cos A＝，A＝60°.＝＝2bsin Bsin B1311
＝＋·＝＋3， 22tan B2
1
因此tan B＝. 21
答案：
2
222
??|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，
16．解析： 依题意得?
?2a，?|PF1|－|PF2|＝±
(|PF1|2＋|PF2|2)－(|PF1|－|PF2|)2＝
115
2|PF1|·|PF2|＝4c2－4a2＝4b2，|PF1|·|PF2|＝2b2＝2.又S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝|F1F2|×，因
225|F1F2|5
此|F1F2|＝25，a＝?5?2－1＝2，该双曲线的离心率是＝. 2a2
答案：
5
2
三、解答题
πωx＋?. 17．解析： (1)f(x)＝sin ωx＋3cos ωx＝2sin?3??
π
∵函数f(x)图象的两条相邻的对称轴间的距离为，
22π
∴T＝＝π，
ω∴ω＝2.
π2x＋?， (2)由(1)得f(x)＝2sin?3??π
x＋?. ∴g(x)＝2sin??3?
πππ50，?，可得≤x＋≤π， 由x∈??2?336πππ
∴当x＋＝，即x＝时，
326π?π
g(x)取得最大值g?＝2sin ＝2； ?6?2π5ππ
当x＋＝，即x＝时，
362π?5πg(x)取得最小值g?＝2sin ＝1. ?2?6
18．解析： (1)设第i(i＝1,2，…，8)组的频率为fi，则由频率分布图知f7＝1－(0.004＋0.01＋0.01＋0.02＋0.02＋0.016＋0.008)×10＝0.12，
∴这个人的分数在255～265之间的概率约是0.12.
(2)这2 000名学生的平均分数为200×0.04＋210×0.1＋220×0.1＋230×0.2＋240×0.2＋250×0.16＋260×0.12＋270×0.08＝237.8.
(3)从第一组到第四组，频率为0.04＋0.1＋0.1＋0.2＝0.44，而0.5－0.44＝0.06，将第五组[235,245)，按以下比例分割：
0.063
＝，
0.2－0.067
∴中位数为235＋3＝238，∴应将分数线定为238分．
19．解析： (1)证明：因为点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，所以PO⊥平面ADC，所以PO⊥AC.
因为AB＝BC，所以O是AC的中点， 所以OE∥PA. 同理OF∥AD.
又OE∩OF＝O，PA∩AD＝A， 所以平面OEF∥平面PDA.
(2)证明：因为OF∥AD，AD⊥CD， 所以OF⊥CD.
又PO⊥平面ADC，CD?平面ADC， 所以PO⊥CD.
又OF∩PO＝O，所以CD⊥平面POF. (3)存在，事实上记点E为M即可． 因为CD⊥平面POF，PF?平面POF， 所以CD⊥PF.
1
又E为PC的中点，所以EF＝PC，
2
1
同理，在直角三角形POC中，EP＝EC＝OE＝PC，
2所以点E到四个点P，O，C，F的距离相等． 20．解析： (1)f(x)的定义域为{x|x≠－1}． ∵f(x)＝x2－2x－ln(x＋1)2， 2?x2－2?2
∴f′(x)＝2x－2－＝，
x＋1x＋1
??x≠－1，
解?得－2＜x＜－1或x＞2， ?f′?x?＞0?
∴f(x)的单调递增区间是(－2，－1)和(2，＋∞)． (2)由已知得F(x)＝x－ln(x＋1)2＋a，且x≠－1， x－12∴F′(x)＝1－＝. x＋1x＋1
∴当x＜－1或x＞1时，F′(x)＞0； 当－1＜x＜1时，F′(x)＜0.
1
∴当－＜x＜1时，F′(x)＜0，此时，F(x)单调递减；
2当1＜x＜2时，F′(x)＞0，此时，F(x)单调递增． 11
－?＝－＋2ln 2＋a＞a，F(2)＝2－2ln 3＋a＜a， ∵F??2?21
－?＞F(2)． ∴F??2?1????－F≥0，1??2??－，2∴F(x)在?2?上只有一个零点??或F(1)＝0.
??F?2?＜01??F?－?≥0，1
由??2?得－2ln 2≤a＜2ln 3－2；
2
??F?2?＜0由F(1)＝0得a＝2ln 2－1.