26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．
?????27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，bb?0，a//b的充要条
????件是存在实数?，使a??b．
28、平行于同一个平面的向量称为共面向量． 29、向量共面定理：空间一点?位于平面??C内的充要条件是存在有序实数对x，
????????????????????????????y，使???x???y?C；或对空间任一定点?，有??????x???y?C；或
????????????????若四点?，?，?，C共面，则???x???y???z?C?x?y?z?1?．
??????????30、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点?，作?则???a，???b，?????????称为向量a，b的夹角，记作?a,b?．两个向量夹角的取值范围是：?a,b???0,??．
?????????31、对于两个非零向量a和b，若?a,b??，则向量a，b互相垂直，记作a?b．
2
??????????osab,??称为a，b的数量积，32、已知两个非零向量a和b，则abc记作a?b．即??????a?b?abcosab?,?．零向量与任何向量的数量积为0．
?????????33、a?b等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcos?a,b?的乘积．
??????????34、若a，b为非零向量，e为单位向量，则有?1?e?a?a?e?acos?a,e?；
???????????2???????aba与b同向a?a?aa?a?a； 23a?b?a?b?a?b?0；，，??????????aba与b反向?????????a?b??4?cos?a,b????；?5?a?b?ab．
ab??????????????35、向量数乘积的运算律：?1?a?b?b?a；?2???a??b??a?b?a??b；
?????3?????????a?b?c?a?c?b?c．
?????36、若i，j，k是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p，存在有序???????????实数组?x,y,z?，使得p?xi?yj?zk，称xi，yj，zk为向量p在i，j，k上
的分量．
????37、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，
????存在实数组?x,y,z?，使得p?xa?yb?zc．
???38、若三个向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是
??????????pp?xa?yb?zc,x,y,z?R．这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，
???????a,b,c称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量．空间任意三个不共面的向
?量都可以构成空间的一个基底．
???????39、设e1，e2，e3为有公共起点?的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位
??????????????正交基底），以e1，e2，e3的公共起点?为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x?轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系?xyz．则对于空间任意一个向量p，?????一定可以把它平移，使它的起点与原点?重合，得到向量???p．存在有序实?????????数组?x,y,z?，使得p?xe1?ye2?ze3．把x，y，z称作向量p在单位正交基底?????????e1，e2，e3下的坐标，记作p??x,y,z?．此时，向量p的坐标是点?在空间直角
坐标系?xyz中的坐标?x,y,z?．
????40、设a??x1,y1,z1?，b??x2,y2,z2?，则?1?a?b??x1?x2,y1?y2,z1?z2?． ???2?a?b??x1?x2,y1?y2,z1?z2?．
?3??a???x1,?y1,?z1?．
???4?a?b?x1x2?y1y2?z1z2．
???????5?若a、b为非零向量，则a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?z1z2?0． ???????6?若b?0，则a//b?a??b?x1??x2,y1??y2,z1??z2． ???a?a?a?x12?y12?z12．
???xx?yy?zza?b??8?cos?a,b?????212221221222．
abx1?y1?z1?x2?y2?z2??7????x2,y2,z2?，则d???9???x1,y1,z1?，
?????????x2x?1???zz?1?y?2?2y122?2?．
41、在空间中，取一定点?作为基点，那么空间中任意一点?的位置可以用向量
??????????来表示．向量??称为点?的位置向量．
42、空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点?以及一个定方向确定．点
??是直线l上一点，向量a表示直线l的方向向量，则对于直线l上的任意一点?，??????有???ta，这样点?和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出直线l上的任意一点． 43、空间中平面?的位置可以由?内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线
??相交于点?，它们的方向向量分别为a，b．?为平面?上任意一点，存在有序
????????实数对?x,y?，使得???xa?yb，这样点?与向量a，b就确定了平面?的位置．
??44、直线l垂直?，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面?的法向量．
????45、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则a//b?a//b? ??????a??b???R?，a?b?a?b?a?b?0．
???46、若直线a的方向向量为a，平面?的法向量为n，且a??，则a//??a//?
??????????a?n?a?n?0，a???a???a//n?a??n．
????47、若空间不重合的两个平面?，?的法向量分别为a，b，则?//??a//b?
??????a??b，????a?b?a?b?0．
??48、设异面直线a，b的夹角为?，方向向量为a，b，其夹角为?，则有
??a?bcos??cos????．
ab????49、设直线l的方向向量为l，平面?的法向量为n，l与?所成的角为?，l与n??l?n的夹角为?，则有sin??cos????．
ln??????????50、设n1，n2是二面角??l??的两个面?，?的法向量，则向量n1，n2的夹
角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角??l??的平面角为?，
?????n1?n2则cos???????．
n1n2????????51、点?与点?之间的距离可以转化为两点对应向量??的模??计算．
?52、在直线l上找一点?，过定点?且垂直于直线l的向量为n，则定点?到直线
????????n?????????l的距离为d???cos???,n???．
n?53、点?是平面?外一点，?是平面?内的一定点，n为平面?的一个法向量，
????????n?????????则点?到平面?的距离为d???cos???,n???．
n
三角
1、正弦定理：在???C中，a、b、c分别为角?、?、C的对边，R为???C的外接
abc???2R． sin?sin?sinC2、正弦定理的变形公式：①a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC；
abc②sin??，sin??，sinC?；③a:b:c?sin?:sin?:sinC；
2R2R2Ra?b?cabc④． 3、三角形面积公式：???sin??sin??sinCsin?sin?sinC111 i4S??C??bscin??absin?Ca．cs?n、余弦定理：在???C中，有
222圆的半径，则有
222222，b?a?c?2accos?， c?a?b?2abcosC． a2?b2?c2?2bccos?b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c25、余弦定理的推论：cos??，cos??，cosC?．
2bc2ab2ac6、设a、b、c是???C的角?、?、C的对边，则：①若a?b?c，则C?90； ②若a?b?c，则C?90；③若a?b?c，则C?90．
222222??222?