所以BD?平面EFC．又因为BD?平面BCD,所以平面EFC?平面BCD. 15.设函数f(x)?ax?b,曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x?4y?12?0. x(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y?f(x)上任一点处的切线与直线x?0及直线y?x所围成的三角形的面积是一个(与a,b无关的)定值，并求此定值．
【解析】本题主要考查导数的几何意义、导数的运算以及直线方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力．本题属中等题． 【参考答案】
(1)方程7x?4y?12?0可化为y?当x?2时，y?7x?3. 41? 2b1?2a??,??a?1,b?22
又f?(x)?a?2,于是?解得?
b7x?b?3.?a??,?44?
故f(x)?x?3? x?3知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为 2x(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点．由y?1?y?y0?(1?333即)(x?x),y?(x?)?(1?)(x?x0). 0022x0x0x066,从而切线与直线x?0的交点坐标为(0,?) x0x0令x?0,得y??令y?x,得y?x?2x0,从而切线与直线y?x的交点坐标为(2x0,2x0). 所以点P(x0,y0)处的切线与直线x?0,y?x所围成的三角形的面积为
16.|?|?|2x0|?6.故曲线y?f(x)上任一点处的切线与直线x?0,y?x 2x0
所围成的三角形的面积为定值，此定值为6．
16．(1)设a1,a2,?,an是各项均不为零的n(n?4)项等差数列，且公差d??0, 若将此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，(i)当n?4时，求
a1的数值；(ii)求n的所有可能值． d(2)求证：存在一个各项及公差均不为零的n(n?4)项等差数列，任意删去其中的k项
(1?k?n?3),都不能使剩下的项(按原来的顺序)构成等比数列．
【解析】本题以等差数列、等比数列为平台，主要考查学生的探索与推理能力． 本题属难题． 【参考答案】
首先证明一个“基本事实”
一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差d0?0. 事实上，设这个数列中的连续三项a?d0,a,a?d0成等比数列，则
2，故d0?0. a2?(a?d0)(a?d0),由此得a2?a2?d0(1)(i)当n?4时，由于数列的公差d?“基本事实\推知，删去的项只可能为a2或?0,故由
a3．
①若删去a2，则由a1,a3,a4成等比数列，得(a1?2d)2?a1?(a1?3d).
因d??0,故由上式得a1??4d,即
a1??4.此时数列为?4d,?3d,?2d,?d,满足题设． d②若删去a3，则a1,a2,a4由成等比数列，得(a1?d)2?a1?(a1?3d).
因d??0,故由上式得a1?d,即综上可知
a1?1.此时数列为d,2d,3d,4d满足题设． da1的值为?4或1． d (ii)当n?6时，则从满足题设的数列a1,a2,a3,?,an中删去任意一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列a1,a2,a3,?,an的公差必为0，这与题设矛盾．所以满足题设的数列的项数n?5.
又因题设n?4,故n?4或n?5．
当n?4时，由(i)中的讨论知存在满足题设的数列．
当n?5时，若存在满足题设的数列a1,a2,a3,a4,a5则由“基本事实”知，删去的项只能是a3，从a1,a2,a4,a5而成等比数列，故(a1?d)2?a1?(a1?3d),
及(a1?3d)2?(a1?d)(a1?4d).分别化简上述两个等式，得a1d?d2及a1d??5d2, 故d?0.矛盾．因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列． 综上可知，n只能为4．
(2)我们证明：若一个等差数列b1,b2,?,bn(n?4)的首项b1与公差d?的比值为无理数，
则此等差数列满足题设要求． 证明如下：
假设删去等差数列b1,b2,?,bn(n?4)中的k(1?k?n?3)项后，得到的新数列(按原来的顺序)构成等比数列，设此新数列中的连续三项为
b1?m1d?,b1?m2d?,b1?m3d?(0?m1?m2?m3?n?1),于是有
(b1?m2d?)2?(b1?m1d?)(b1?m3d?),化简得
2(m2?m1m3)d?2?(m1?m3?2m2)b1d???????(*)
2由b1d???0知，m2?m1m3与m1?m3?2m2同时为零或同时不为零． 2若m1?m3?2m2?0,且m2?m1m3?0,则有(m1?m32)?m1m3?0, 2即(m1?m3)2?0,得m1?m3,从而m1?m2?m3,矛盾．
2因此，m1?m3?2m2与m2?m1m3都不为零，故由(*)式得 2m2?m1m3b1?????????(**) d?m1?m3?2m2因为m1,m2,m3均为非负整数，所以(**)式右边是有理数， 而
b1是一个无理数，所以(**)式不成立．这就证明了上述结果． d?因2?1是一个无理数．因此，取首项b1?
2?1,公差d??1.则相应的
等差数列2?1,2?2,2?3,?,2?n(n?4)是一个满足题设要求的 数列．
B．附加题部分
1．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品l26件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产l件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产l件次品亏损2万元．设l件产品的利润为?(单位：万元)． (1)求?的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即?的数学期望)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%,一等品率提高为70%. 如果此时要求l件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少?
【解析】本题主要考查概率的基础知识，如概率分布、数学期望等．本题属中等题． 【参考答案】
(1)由题设知，?的可能取值为6,2,1,?2,且
P(??6)?12650?0.63,P(??2)??0.25, 200200204P(??1)??0.1,P(???2)??0.02.
200200由此得?的分布列为
(2)?的数学期望为：E??(?2)?0.02?1?0.1?2??25?6?0.63?4.34,
即1件产品的平均利润是4.34万元．
(3)设技术革新后的三等品率为x，二等品率为y．由题设可知，?的可 能取值为6,2,1,?2,且?的分布列为： 又0.01?x?y?0.7?1,
得x?y?0.29.特别地，0?x?0.29.于是技术革新后l件产品的平均利润为：
E??(?2)?0.01?1?x?2?y?6?0.7?4.76?x(0?x?0.29).
故要求l件产品的平均利润不小于4.73万元，等价于E??4.73, 即4.76?x?4.73,解得x?0.03.
因此，要使1件产品的平均利润不小于4．73万元，则三等品率最多为3%. 2．如图，设动点P在棱长为l的正方体ABCD?A1B1C1D1的对角线BD1上， 记
D1P??.当?APC为钝角时，求?的取值范围． D1B【解析】本题主要考查向量的坐标表示、向量运算及其几何意义等基础知识． 本题属中等题． 【参考答案】
由题设可知，以DA,DC,DD1为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系
D?xyz,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).由
D1B?(1,1,?1),D1P??D1B?(?,?,??),
所以PA?PD1?D1A?(??,??,?)?(1,0,?1)
?(1??,??,??1),
PC?PD1?D1C?(??,??,?)?(0,1,?1)
?(??,1??,??1).
显然?APC不是平角，所以?APC为钝角等价于
cos?APC?cos?PA,PC??这等价于PA?PC?0,
PA?PC|PA|?|PC|?0
即(1??)(??)?(??)?(1??)?(??1)?0,
21(??1)(3??1)?0,解得???1
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