§8-1 引 言
一、 变换域分析的目的
变换域分析的目的，在于将原来的求解问题简化。
对于连续时间系统，通过L.T.，可以将原来求解微分方程的问题转变为求解代数方程的问题；
对于离散时间系统，通过Z变换（Z.T.），可以将原来求解差分方程的问题转变为求解代数方程的问题。
二、 Z变换的发展史
十八世纪，DeMoivre提出生成函数，并应用于概率论；
十九世纪Laplace、二十世纪Seal对其进行了进一步深入研究； 二十世纪六十年代起，由于计算机技术和控制技术的飞速发展，抽样控制理论的应用，离散信号处理和数字信号处理得到了广泛应用。作为离散时间系统分析的重要工具，Z.T.得到了很大的发展，其用途甚至超过了L.T.
三、 离散时间序列的频域分析方法
离散时间系统和离散时间序列也可以通过正交分解的方法，在频域进行分析。离散系统也有频率响应（对各种频率的离散正弦信号的响应）。傅利叶变换的离散形式——离散傅利叶变换（DFT）——在离散时间系统分析中同样占用很重要的地位，而DFT的快速算法——FFT——的提出使得DFT在各种信号处理场合得到的广泛的应用。
除了DFT以外，其信号分析方法，如沃尔什变换等，在离散信号处理中同样得到的很广泛的应用。
§8-2 Z变换及其性质
一、 Z变换的定义
Z变换的定义可以从纯数学的角度进行，也可以通过信号分解的
角度提出。后者更加容易理解。本课程中，通过连续时间系统的F.T.，导出Z.T.。
离散时间信号f(k)可以看成是连续时间信号通过抽样而得到的冲激序列：
??f(k)f?(t)?f(k)?(t?kT)——>
k????
对其f?(t)进行F.T.：
F(j?)??????f?(t)e?j?tdt???????????f(k)?(t?kT)??e?j?t?dt?k???????f(k)?(t?kT)e?j?tdtk??????????????f(k)??k??????????(t?kT)e?j?tdt???????f(k)e?j?kT??f(k)?ej???kTk???k?????根据Dirichlet条件，只有在信号满足绝对可积条件——这里可以
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??(k)???变成绝对可和条件：k?f???——时，FT才存在。如果不满足，
可以利用LT中的方法，在信号上首先乘以一个衰减因子
e?rkT，然后
再求FT。这样一来上式就可以变成为：
F(r?j?)?????t??f?(t)e?rkTe?jdt??er?j???kTk???f(k)???为了简化，假设T=1，则：
F(r?j?)?k???f(k)?er?j???k???
设z?e(r?j?)，带入：
??F(z)??kk?f(k)z???上式称为序列f(k)的
Z变换。F(z)由被称为序列f(k)的生成函数，用它可以导出f(k)。
? 上面的推导反映了抽样信号的FT与用其冲激序列的强度构成的信
号序列的ZT之间的关系，即： F(j?)?F(z)z?ej?而抽样信号的LT
与用其冲激序列的强度构成的信号序列的ZT之间的关系为： F(s)?F(z)z?es? 如果实际抽样序列的抽样间隔
T不等于1,则上面两个关系变为：
F(j?)?F(z)z?ej?T，F(s)?F(z)z?esT
? 在某些情况下，Z变换的求和限可以简化：
1、 如果f(k)是一个左边序列（其在k<0时才有非零值），则：
F(z)? k??1f(k)z?k?2 、 ?? 如果f(k)是一个右边序列，则：
F(z)? k???f(k)z?k?03 、 如果f(k)是一个有限长序列，则：
?k2F(z)?f(k)z?k
k?k1二、
单边Z变换与双边Z变换
上面的Z变换中的求和在（-∞，0）和[0，+∞）中进行，称为双边Z变换。实际工作中，信号是有始信号，系统也是因果系统，其单位函数响应也是一个有始信号，所以只要考虑[0，+∞）一边就可以了，响应的变换称为单边Z变换：
??F(z)?f(k)z?kk??0与单边LT一样，单边
Z变换也是我们研究的重点。
三、 Z变换的收敛域
2
和LT一样，ZT也有收敛域的问题。
ZT是一个级数求和问题。ZT存在意味着级数收敛。Z变换的收敛域也就是使这个级数收敛的全部z的集合。 1、 级数收敛的判别方法：
limak?1???11） 比值法：k??ak
k2） 根值法：klim??ak???1 2、 几种常见序列的收敛域： 1） 有限长序列： F(z)?k?k2f(k)z?k?k1
a、 当k1?0,k2?0,收敛域0?z??? b、 当k1?0,k2?0,收敛域0?z??? c、 当k1?0,k2?0,收敛域0?z??? 2） 右边序列：
??F(z)?f(k)z?kk??0利用根值法，有：
klimk?1k??ak?klimk??f(k)z?k?klim??zf(k)?1
?z?klimk??f(k)?R所以，右边信号的收敛域为是半径
R、圆心在原点的圆以外的全部区域。 例8－2－1
例8－2－1： 单边指数序列
ak?(k)的收敛域。
解：用上面的结论（根值法）：
?z?klimk??ak?a（也可以用一般等比序列求和的方法求解）
思考：如果右边序列的起始点不在0,收敛区间应该怎样？ 提示：收敛域是否包含+∞？ 3） 左边序列
F(z)?k??1f(k)z?k???同上可得左边序列的收敛域为：
?z?1klimk?R??f(?k)即左边信号的收敛域为是半径
R、圆心在原点的圆以内的全部区域。
例8－2－2
k例8－2－2： 单边指数序列
b?(?k?1)的收敛域。
解：用上面的结论（根值法）：
3
?z?1k??
（也可以用一般等比序列求和的方法求解）
思考：如果左边序列的起始点不在-1,收敛区间应该怎样？ 提示：收敛域是否包含原点？ 4） 双边序列
与连续时间系统一样，双边序列也可以看成右边序列和左边序列之和，收敛域为两个序列的公共收敛域。收敛域可能存在（当两个序列的收敛域公共区间时），也可能不存在（当两个序列的收敛域没有公共区间）。如果存在，其收敛域为一个环行区域。 例8－2－3
kkb?(?k?1)?a?(k)的收敛区。
例8－2－3： 求序列
kkb?(?k?1)a?(k)的公共
解：它的收敛域为左边序列和右边序列
limkb?k?b收敛区间， 1、 当2、 当
a?b时，两者没有公共收敛区间，Z变换不存在。
a?b时，收敛域为a?z?b四、 常见序列的单边ZT
1、 单位函数：
?(k)??1，收敛域：全平面 Z?2、 单位阶跃信号：
1zZ??(k)???1?z?1z?1，收敛域：z?1
3、 单边指数序列：
zZ?k?(k)?z??，收敛域：z??
4、 单边正弦和余弦序列：
可以通过上面指数序列推导出。 其它常见ZT：见P61,表8-1 例8－2－4
??k例8－2－4： 求左边指数序列???(?k?1)的Ｚ变换。
解：这个序列的z变换可以直接用定义求解，而且非常方便。但这里为了说明如何通过右边序列的z变换求解，按照下列步骤求得： （1）令k??n,将原信号反褶
f(?n)???k?(?k?1)k??n????n?(n?1)同时补齐g(0)????0
??1，这样完整的右边序列为
（2）对g(n)求Z变换，由式(8—8a)可得
g(n)?f(?n)?g(0)?(k)????n?(n)
G(w)?Z???n?(n)??（3）令w?z代入上式则得
?1??ww???1，
收敛区：
w???1
4
Z???(?k?1)?G(w)w?z?1?zz??,
收敛区：z?w例8－2－5
?k?z?1?g(0)?1??1z???1
??
k?1
例8－2－5： 求双边指数序列f(k)??的Ｚ变换。 解：将双边序列分解为左边序列和右边序列之和，即：
f(k)??k??k?(k)???k?(?k?1)
k其中右边序列??(k)的Z变换Fr(z)已由式(8—8a)给出为
?k?根据（8-10），不难得到左边序列?(?k?1)的Z变换和收敛区：
z?1?1Fl(z)???1z?w??z??,
综合上面的结论，可以得到：
??1（1） 当时，由于左边序列与右边序列的Z变换没有公共的收敛区，此时该序列不存在
双边z变换。 ??1（2） 当时，左边序列与右边序列的Z变换存在公共的收敛区，此时该序列的双边z
变换为：
z1F(z)?Fr(z)?Fl(z)??z??z???1
(????1)z(????1)z??2?1?1?1??z??(z??)(z??)z?(???)z?1
F(z)有两个极点，其中z??处的极点是由右边序列产生的，它处于收敛边界的内
Fr(z)?zz??，
z??部；z??处的极点是由左边序列产生的，它处于收敛边界的内部。
?1五、 左边和双边序列的ZT计算方法：
1、 左边序列ZT求法：
F(z)???k????f(k)zk?1?k??f(?k)zk?1??k?
由此可以得到由右边序列计算左边序列ZT计算方法： 1） 将序列f(k)反褶，称为右边序列f(-k)；
2） 求f(-k)的单边ZT，假设为Fs(z)，收敛域为z?R；
k?0?f(?k)z?f(0)3） 得到左边序列的ZT：
?1F(z)?Fs(z?1)?f(0)，收敛域为z?R
2、 双边序列ZT求法：
与双边信号的LT一样，可以将双边序列分解为左边序列和右边序列之和，分别求解。 例：求f(k)??的ZT 解：f(k)??其中：
kk??k?(k)???k?(?k)??(k)
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