? s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内； ? s平面的右半平面映射到z平面的单位圆外； ? s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上； 2??
s平面上的多个点可以映射到z平面的一个点上，相角?随?以T为周期重复。所以这种映射关系并不是一一对应的。但是，在信号
带宽满足Nyquist取样率???m?s2?T的情况下，这种多点映射关
系并不影响我们分析。
二、 一般连续信号f(t)的LT与它抽样后得到的离散序列的ZT之间的关系。
抽样 取冲激幅度
连续信号——>理想抽样序列——>离散序列 F(s) <————————————> F(z) 已知信号的F(s),通过L?1T可以得到：
f(t)?1???j??F(s)est2?j??jds对f(t)理想抽样，其冲激幅度序列为：
f(kT)?1???j??F(s)eskT2?j??jds对序列求ZT：
F(z)?Z{f(kT)}???1??j??z?kk?02?j???j?F(s)eskTds?1???j??skT2?j??j?F(s)?e?z?kdsk?0?12?j???j?F(s)??j?1?esTz?1ds??Res??zF(s)??z?esT?
i?F(s)在左半平面各极点
K1? 假设：
F(s)?s?s1，则：
F(z)??Res??zK?1?i?(s?s1)(z?esT)???F(s)在左半平面各极点???K1z??K1z??z?esT??s?s1???z?es1T??
可见：F(s)在s1处有极点，而F(z)在es1T处有极点。
nF(s)?Ki? 假设
?i?1s?si（假设没有重极点），则有：
nF(z)??Kiz?
??i?1?z?esiT??——在F(s)没有重根的情况下,可以通过部分分解的方法得到F(z)。
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? 从上面可以看出：F(s)的极点和F(z)的极点之间的关系为：
z?esT，或 s?1Tlnz 或：
z?e?T，???T
可见，F(s) 和F(z)的极点的映射关系与上面的关系相同。这里同样有多点映射的问题。
§8-5 离散时间系统ZT分析法
与LT在连续时间系统中的作用一样，在离散时间系统中同样也
可以通过ZT，将求解差分方程的问题转变成为求解代数方程的问题，从而是求解过程得到简化。但是，它同样也要引入两次变换计算。
同LT一样，通过对差分方程取ZT，可以自动引入初始条件，一次性得到系统的全响应。但是，它不宜分清系统的响应的物理含义。
在本课程中，依然分rzi和rzs两部分，讨论系统响应的求解方
法。
一、 rzi的ZT求解法
在输入信号为零的条件下，差分方程变为了一个齐次差分方程。
其一般形式为：
?nairzi(k?i)?0i?0对其求ZT，可以得到：
?na?i?i?1(l)z?l??i?z???Rzi(z)??rzi???0i?0l?0?? ?n??aii?1izRzi(z)?aizi?r?l?zi(l)z??0i?0?l?0? ?n?aizi?R?zi(z)??n?aizii?1r?zi(l)z?l?i?0i?0???l?0??
?n?ii?1azr(l)z?l?R?0??i?ziil?0??zi(z)??n?aiiz?i?0
所以，有了初始条件，就可以通过直接写出Rzi(z)，再由反ZT
就可以得到rzi(k)。
但是，这种方法比时域解法复杂，因为： 1、 形式复杂，难于记忆； 2、 要进行反ZT计算。
二、rzs的ZT求解法
rzs(k?n)?an?1rzs(k?n?1)?...?a1rzs(k?1)?a0rzs(k)?bme(k?m)?bm?1e(k?m?1)?...?b1e(k?1)?b0e(k)零状态响应有很多推导方法。教材上提出了直接用这个差分方程的求解
方法。这里给出一个更加简单的方法。为此将差分方程改写为：
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rzs(k)?an?1rzs(k?1)?...?a1rzs(k?n?1)?a0rzs(k?n)?bme(k?m?n)?bm?1e(k?m?n?1)?...?b1e(k?n?1)?b0e(k?n)然后对方程两边求ZT（注意：1、系统初始状态为零
;2、同时激励信号也是一个有始信号;3、对于因果系统，m<=n）：
Rzs(z)?an?1z?1Rzs(z)?...?a1z?n?1Rzs(z)?a0z?nRzs(z)?bmzm?nE(z)?bm?1zm?n?1E(z)?...?b1z?n?1E(z)?b0z?nE(z)(1?an?1z?1?...?a1z?n?1?a0z?n)Rzs(z)?(bmzm?n?bm?1zm?n?1?...?b1z?n?1?b0z?n)E(z)
Rbmzm?n?bm?1zm?n?1?...?b1z?n?1?bzs(z)?0z?n?1?an?1z?1?...?a1z?n?1?a0z?nE(z)?bmzm?bm?1zm?1?...?b1z?b0zn?a?...?aE(zn?1zn?1)1z?a0定义：
H(z)?bmzm?bm?1zm?1?...?b1z?b0zn?an?1zn?1?...?a1z?a0则：
Rzs(z)?H(z)E(z)其中，H(z)
称为系统的转移函数。它可以根据系统的差分方程的系数直接写出。
可见，离散时间系统的零状态响应的求解方法与连续时间系统中的方法完全一样，只不过LT变成了ZT而已。这里，同样可以证明，H(z)是系统的单位函数响应的ZT，即：
H(z)?Z?h(t)?三、 系统的全响应求解
1、通过rzi和rzs分别求
综合上面的结果，可以得到：
R(z)?Rzi(z)?Rzs(z)?n?ii?1m?a?l?iiz?rzi(l)z????biz?E(z)?i?0?l?0?i?0?n?aizi?i?0在实际应用中一般不直接使用这个公式，
而是利用其原理进行计
算。
例：P83，Ex8.6。注意其中的初始条件为零输入响应下的初始值。 2、 直接求解法：
对差分方程两边直接求ZT，并带入初始条件。 原始差分方程：
rzs(k?n)?an?1rzs(k?n?1)?...?a1rzs(k?1)?a0rzs(k)?bme(k?m)?bm?1e(k?m?1)?...?b1e(k?1)?b0e(k)或：
?nmair(k?i)??bie(k?i)i?0i?0两边同时求ZT：
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?na?i?i?1r(l)z?l???i?z?R(z)???i?0??l?0??mi???b???zi?1??E(z)??e(l)z?l???i?i?0l?0?? ?R(z)?n??azi?i?1r(l)z?l?m?????bii?1(l)z?l?m???biiiz?eizE(z)?i?0?l?0?i?0?l?0?i?0?n?azii?i?0注意这个
公式与前面公式的差别：1、响应初始条件的含义；2、是否考虑激励的初始值。
四、 离散时间系统的稳定性
? 与连续时间系统中的结论相似，离散时间系统稳定的充分必要条件
是其单位函数响应绝对可和。
? 这要求系统传输函数的极点都在单位圆的内部。
? 如果系统在单位圆上有单极点，则系统是临界稳定的。 ? 如何根据H(z)的分母D(z)的系数判断系统是否稳定？
直接根据D(z)的系数不能判断其根是否处于单位圆以内。为此引入双线性变换：
z???1??1 将D(z)表示成?的函数：
D'(?)?D(??1)这种双线性变换满足：??1
1、 这是一个单映射；
2、 映射后的函数仍然是一个有理函数；
3、 z平面单位圆以外的点映射到?平面的右半平面；
z平面单位圆以内的点映射到?平面的左半平面；
所以，只要判断D'(?)?0是否有右半平面内的根，就可以判定D(z)的根是否处于单位圆以内。
如何判断D'(?)?0是否有右半平面内的根？依然可以用罗斯-霍维斯法则。
§8-6 离散时间系统频率响应
与连续时间系统中的FT方法相似。离散时间系统同样可以通过
信号的正交分解的方法进行分析。
离散时间系统和连续时间系统一样，也可以求其频率响应。只不过这里的频率响应是指系统对离散正弦信号cos(?kT)或离散复正弦信号ej?kT的响应。
一、 离散时间系统的频率响应
假设对在复正弦信号ej?kT的激励下，系统的响应为：
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??r(k)?h(k)*ej?kT?)ej?(k?i)Ti?h(i?????????h(i)(ej?T)?i??ej?kT?H(ej?T)ej?kT?i????可见：
? 系统对复正弦信号ej?kT的响应仍然是同频率的复正弦信号ej?kT，其相位和幅度有所变化；
? 系统对于复正弦信号的相位和幅度的影响可以由其传输函数在z
j?T平面单位圆上的值??确定。其幅频响应和相频响应分别为
H(e)和
argH(ej?T)：
?
与连续时间系统中的结论一样，其幅频响应是频率的偶函数，相频响应是频率的奇函数。与连续时间系统不同的是，这里的幅频响应
2?函数和相频响应函数都是以T为周期的周期性函数。
?
这里的T是对实际正弦信号的取样间隔，而ω是（连续）正弦信号的频率。有时我们对这个离散正弦信号对应与何频率的连续正弦信号在何种取样率下取样并不关心，而把（ωT）作为一个变量统一考虑（用?表示，称为归一化角频率），
r(k)?h(k)*ej?k?H(ej?)ej?k
这时候归一化后的频率响应函数的周期变为2?。通过它很容易导出系统在任意取样率条件下的频率响应。 ? 同样的离散时间系统，在不同的取样频率下，有着不同的频率响应。 ? 在离散时间系统中，同样有低通滤波器、高通滤波器以及带通滤波
器等。只不过这时候的频率只考虑在??????（或??T????T）频率范围内。
二、 离散时间系统频率响应的画法：
1、 解析法 2、 极零图法
三、 几种特殊的离散时间系统：
1、 全通系统：对任意频率的离散正弦时间信号都有相同的幅频响应
——>除了在z=0处的极点外，其余的极点和零点关于单位圆镜像
z对称（即两者相角相等，幅度互为导数,或i?1pi*）。（思考：如何证明？）
2、 最小相位系统：极零点全部在单位圆内。 例8－6－1
例8－6－1： 图所示的电阻梯形网络中，若令a?1，n?10，E?10V，则此电路的差分方程为
u(k?2)?3u(k?1)?u(k)?0(0)?10V
且具有边界条件u，u(10)?0。求解电路中第k个节点的电压u(k)。
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