解：这里的k并不是对应于时间，而是对应于电路节点号，但是依然可以用Z变换求解。对齐次差分方程进行Z变换
22 (z?3z?1)U(z)?u(0)z?u(1)z?3u(0)z?0
由此式解出U(z)并代入边界条件u(0)，但u(1)暂时还不知道，待后面再解出。
3??10z?z??10z(z?3)?u(1)zz?u(1)?15?2??U(z)????3??3?z2?3z?1z2?2????1z2?2????1?2??2?
把此式与表8—1中第16、l7两个Z变换对相比较，即可看出等式右边第一项相当于双曲线
Az(z?coshbT)余弦AcoshbkT的Z变换z2?2zcoshbT?1，第二项相当于双曲线正弦BsinhbkT的Z变换
BzsinhbTz2?2zcoshbT?1。根据第一项，可以得到：
3coshbT?A?10，2，bT?0.9624 根据第二项，有BsinhbT?u(1)?15。将上面求出的coshbT代入，可以得到：
BsinhbT?Bcosh2bT?1?25?u(1)?15?5
因此，U(z)的反变换式为
?B?5B?u(1)?152
??25??u(1)?15?sin?0??u(k)?Z?U(z)???10cosh?0.9624k??h.962k4??(k)5????
现在，再用另一边界条件u(10)?0代入上式,求出u(1)，即
?1u(10)?0?10cosh9.624?25?u(1)?15?sinh9.6245
u(1)?15?55coth9.624
将它代入u(k)式，最后得
u(k)??10cosh?0.9624k??coth9.624sinh?0.9624k???(k)
例8－6－2
例8－6－2： 一受单位阶跃信号激励的系统由以下差分方程描写 y(k?2)?5y(k?1)?6y(k)??(k?1)??(k)
初始状态是1)yzi(0)?0，yzi(1)?0。2)y(0)?0,y(1)?0。求系统分别在这两种初始条件下的
响应。
解：这里分别在两种初始条件下求解。
1）这里已知系统零输入响应的初始状态为零，所以零输入响应一定都为零，系统只有零状态响应。将系统方程用移序算子写成算子式
2 (S?5S?6)y(k)?(S?1)?(k)
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由此可直接写出转移函数为
z?1H(z)?2z?5z?6
z单位阶跃序列的Z变换是z?1，故响应的Z变换为
Y(z)?H(z)E(z)?z(z?1)(z?1)(z2?5z?6)zzz??3?2z?1z?2z?3?z(z?1)(z?1)(z?2)(z?3)
将此式进行反Z变换，即得系统响应
kk y(k)?1?3(2)?2(3)?(k)
2）在这种初始条件下，系统的全响应在0、1时刻的响应为零,但是这并不意味着系统只有零状态响应，它也可以有零输入响应。在给定全响应的初始条件的前提下，对系统微分方程两边同时求单边Z变换，可以得到：
Z?y(k?2)??5Z?y(k?1)??6Z?y(k)??Z??(k?1)??Z??(k)?
??引入响应和激励的初始条件及激励信号?(k)的Z变换
z2zz2?5z?6Y(z)?(z?1)?z?z?1z?1
z2Y(z)?z2y(0)?zy(1)?5zY(z)?5zy(0)?6Y(z)?zZ??(k)??z?(0)?Z??(k)?
??Y(z)?2z(z?1)(z2?5z?6)?对此式进行反Z变换，即得系统响应
2zzzz??2?(z?1)(z?2)(z?3)z?1z?2z?3
y(k)?1?2(2)k?(3)k?(k)
这就是系统的全响应。这个响应也可以分为零输入响应和零状态响应两部分，其中零状态响应应该与1）中的结果一样，即：
??yzs(k)?1?3(2)k?2(3)k?(k) 由此可以得到零状态响应：
??kk yzi(k)?y(k)?yzs(k)?(2)?(3)?(k)
??§8-8 数字滤波器
e(t) 随着集成电路和计算技术的飞速发展，离散时间信号处理表现出
了种种优势，使的很多连续时间信号处理问题都经过时间和幅度的离散化后，通过数字信号处理的方法实现。
r(t) A/D H(z) D/A LPF
转换 转换 滤波
这里有两个问题需要解决：
1、 如何根据连续时间系统信号处理的要求确定H(z)? 2、 如何实现H(z)所表达的离散时间系统？
一、 H(s)的实现：
1、 实现离散时间系统的硬件基本单元：
加法器——>数字加法器； 乘法器——>数字乘法器； 延时器——>移位寄存器；
这些单元也可以用软件直接实现。
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2、 实现方法： 1） 直接实现 2） 并联实现 3） 串联实现 4） 其它实现方法
例：系统
H(z)?0.06z2?0.5z?1z2?0.5z?0.06的各种实现方法。 H(z)?0.06z2?0.5z?1(0.2z?1)(0.3z?1)z2?0.5z?0.06?(z?0.2)(z?0.3)?0.06??0.47z?0.99640.48640.0564(z?0.2)(z?0.3)?1?z?0.3?z?0.23、数字滤波器的分类：
1） 按传输函数的形式分：
a、 递归滤波器，或自回归(AR)滤波器:
H(z)?b0zn?an?1zn?1?...?a1z?a0b、 非递归滤波器，或滑动平均
(MA)滤波器: H(z)?bmzm?bm?1zm?1?...?b1z?b0c、 自回归滑动平均滤波器： H(z)?bmzm?bm?1zm?1?...?b1z?b0zn?an?1zn?1?...?a1z?a02） 根据其单位函数响应分：
a、 有限单位响应滤波器（FIR） h(k)为有限长序列的系统； b、 无限单位响应滤波器（IIR）
h(k)为无限长序列的系统；
二、 H(z)的确定：
1、 时域法：
1） 冲激响应不变法：
抽样 ZT
h(t)——————>h(k)——————>
H(z)
2） 阶跃响应不变法：
抽样 ZT
r?(t)———>r?(k)———>h(k)————>H(z)
2、 频域抽样法
有关数字滤波器的具体问题，将在后续的《数字信号处理》课程中详细介绍。
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