1）
Z??k?(k)??zz??，收敛域：z???
2）为了求Z???k?(?k)，
a、 将信号反褶，成为新的右边序列：?k?(k)
wb、 求右边序列ZT：w??，收敛域：w?? c、 得到原序列ZT：
Z???k?(?k)??wv?1w?vw?z?1?v?1?z，
收敛域：z???1
4） 综合得到双边序列的LT：
a、 如果??1，则f(k)的双边ZT不存在； b、 如果??1，则f(k)的双边ZT为：
)?v?1F(zzzzv?1?z?z???1?v?1?z?z??z(??1??)z(????1?)(v?1?z)(z??)?z2?(??v?1)z?1
收敛域：??z???1
六、 ZT性质：
1、 线性
2、 移序特性：
1） 单边ZT移序特性： a、 增序：
Z?f(?k?n)??Z?Sn?f(k)? ?znF(z)?f(0)?f(1)z?1?...?f(n?1)zn?1?b、 减序：
Z?f(k?1)??Z?S?1f(k)??z?1F(z)推广：
Z?f(k?n)??Z?S?nf(k)??z?nF(z)? 移序算子S的作用相当于乘z; ? 移序计算不影响收敛域；
? 移序特性与LT中的微分特性很相似：
L??d??dtf(t)???sF(s)?f(0?)? 减序计算中，默认信号是一个右边序列。 如果f(k)是一个双边序列，
则有：
Z?f(k?1)??Z?S?1f(k)??z?1F(z)?f(?1)2
） 双边序列移序： ?
Z?f(k?n)??ZSnf(k)??znF(z)， 3、 （z域）尺度变换特性：
Z?akf(k)??F(za)4、 （z域）尺度变换特性：
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dF(z)dz
例：求斜变函数k?(k)的ZT。 5、 卷积定理：
Z?f1(k)*f2(k)??F1(z)F2(z) 6、 初值和终值定理：
f(0)?limF(z)Z?kf(k)???z在f(0)存在的条件下，z??
在f(∞)存在的条件下，f(0)?zlim??(z?F(z) §8-3 反Z变换
反Z变换有三种方法：
1） 级数展开法； 2） 部分分式展开法； 3） 留数法。
四、 级数展开法：
将F（z）表示成Z变换的原始形式，将各个元素与f(k)对号入座。实现途径：长除。
例：求
F(z)?2z2?0.5zz2?0.5z?0.5的原函数。 ? 用这种方法容易求得信号的前面的几个点上的值，但是无法得到解
析表达式。
? 用这种方法可能得到多个解。
? 这种方法无法与收敛域相结合，得到正确的原函数。
二、 部分分式展开法：
同LT中的Heaviside分解法。 1、 其用到的基本变换为：
Z??k?(k)??zz????
Zk?k?1?(k)?z?z???2
Z??k!?(n?1)!(k?n?1)!?k?n?1?(k)??z???z???n F(z)2、 对z进行部分分式展开，对应于上面的基本的ZT公式，就可
以得到原函数。
3、 也可以采用另外一种基本函数：
Z??(k?1)!?(n?1)!(k?n)!?k?n?(k?1)??1??(z??)n这时候只要对F（z）进行部分分式展开即可。
例：同上。
4、 上面讨论的是单边ZT的反变换。与LT一样，在双边ZT中，F(z)
z的原函数与其收敛区间有关。z??可以是右边序列?k?(k)的像函
数，也可以是左边序列??k?(?k?1)的像函数，差别在于收敛域不同。所以，必须根据收敛域，决定部分分式展开式中各项的归属。三、 留数法
1、 通过计算留数，可以得到原函数：很多教材上将其作为反Z变换
7
的定义：
f(k)? 例：同上。
? 留数法不仅可以用于计算单边反Z变换，而且可以用于计算双边反Z
变换。
? 用留数法进行计算，可能会遇到计算z=0点的各阶留数的计算，不很
方便。
? 根据复变函数理论，可以得到另外一种留数法的公式：
i1F(z)zk?1dz?2?j??Res?F(z)z?ik?1c内各极点f(k)??ResF(z)zk?1c外各极点?ResF(z)zk?1?
这个公式因为不要考虑z=0点，所以不用计算z=0点的各阶留数。但是它会牵涉到∞处留数的计算。对于一般的复变函数f(z),有：
?????1?Res?f(z)???Res?f()z?2??z?
? 在某些情况下（一般在k大于一定值的情况下），F(z)z在z=0处无
极点，不用考虑z=0点的留数，这时候用原来的公式比较方便；
? 在某些情况下（一般在k小于一定值的情况下），F(z)z在∞的留数
为零，不用考虑z=∞点的留数，这时候用后面的公式比较方便。 例8－3－1
例8－3－1： 设有Z变换式
z?0.5z?0.5
试用本节所述三种进行反Z变换的方法求原序列f(k)。这里f(k)是有始序列。 解：这里分别用上述三种方法求解。
1、 幂级数展开法
F(z)?2z2?0.5z2k?1k?1将F(z)进行长除：
2?0.5z?1?1.25z?2?0.875z?3??z2?0.5z?0.52z2?0.5z2z2?z?10.5z?10.5z?0.25?0.25z?11.25?0.25z?11.25?0.625z?1?0.625z?20.875z?1?0.625z?2..............................
由长除后的商的系数，得
f(0)?2,f(1)?0.5,f(2)?1.25,f(3)?0.875,? 这是一个数值的序列，可记为
f(k)??2,0.5,1.25,0.875,?? 如果对这个序列加以细究，还可看出其规律。但是，要从一个数值序列去找出它的闭合式来，只有在极为明显的情况下才能做到，在一般情况下是很困难的。所以用幂级数展开法求反变换，一般只能得到序列f(k)的头几项。
2、 部分分式展开法 F(z)把z展开为
8
这里两个简单分式的反Z变换可以查表得到，
f(k)??(k)?(?0.5)k?(k) 3、 围线积分法
用围线积分法首先要确定收敛区，以确定围线的位置。这里虽然题目中没有给出收敛区，但是已知f(k)是一个有始序列，所以其收敛区一定处于某个以原点为圆心的圆的外部区间，
F(z)在有限点上的极点一定都处于收敛边界内（收敛区内不可能有极点），所以在收敛区内
F(z)2z?0.52z?0.5?2?zz?0.5z?0.5(z?1)(z?0.5)11??z?1z?0.5 zz?F(z)??z?1z?0.5
包围原点的围线C一定包含了所有的极点。由上面的部分分式，有：
F(z)zk?1因为已知序列是一个有始序列，所以可以直接判定当k?0时f(k)?0。当k??0时,上式只有两个极点：z?1和z??0.5。它们的留数分别为
ResF(z)z(2z?0.5)zk?2?(z?1)(z?0.5) z?0.5z?0.5(2z2?0.5z)zk?1
?k?1?(2z?0.5)zkz?1?(z?1)(z?1)(z?0.5)z?1?1
kz??0.5ResF(z)zk?1??z??0.5?(z?0.5)(2z?0.5)z(z?1)(z?0.5)?(?0.5)k
所以可以得到
kf(k)??(k)?(?0.5)?(k)
以上三种解法所得结果均相同。
例8－3－2
3z2?5zF(z)?(z?1)(z?2)，收敛区间为1?z?2。求原时间序列。 例8－3－2： 已知
解：该题很难用幂级数展开法求解。这里只用其余两种方法解：
1、 部分分式分解法
将F(z)展开为部分分式： 3z2?5z2zzF(z)???(z?1)(z?2)z?1z?2
Im(z)z平面Re(z)12
由给定的收敛区，可见z?1的极点在收敛边界内，相应的部分分式项对应为右边序列
fr(k)。而z?2的极点在收敛边界外，相应的部分分式项对应为左边序列fl(k)。右边序列
由前述单边Z变换可求得为
?2z?fr(k)?Z?1???2?(k)?z?1?
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根据（8-10），可以得到左边序列的反变换为： fl(k)??(0.5)?k?(?k?1)??2k?(?k?1)
将右边序列与左边序列合并则构成所求的双边序列
kf(k)?f(k)?f(k)?2?(k)?2?(?k?1) lr
2、 围线积分法
3z2?5z(3z?5)zkk?1F(z)z?z?(z?1)(z?2)(z?1)(z?2)
其中F(z)带来两个极点：z?1和z?2。两极点上的留数分别为：
k?1ResF(z)z?k?1??(3z?5)zk??z?1?Res?(z?1)(z?2)????z?2z?1?2
z?1ResF(z)zk?1???(3z?5)z??Res??(z?1)(z?2)????k?2k根据F(z)的收敛区，可以确定z?1处的极点一定处于围线以内的区域，z?2处的极点一定处于围线以外的区域。这里分两种情况讨论： k?1F(z)zk?01） 当时，在原点没有极点，围线内只有z?1处有极点。
2） 可以得到：
f(k)?ResF(z)zk?1???z?1?2
k?0
2）当k?0时，F(z)z在围线内原点处有极点，而且随着k的变换，原点处极点的阶
k?1F(z)z数会变化，为此首先计算在无穷远处的留数：
ResF(z)zk?1?k?1z???(3z?5)zk??Res??(z?1)(z?2)????z???(3z?1?5)z?k?2??Res??1z??1(z?1)(z?2)????z?0?(3?5z)z?k?1??Res??(z?1)(z?0.5)????k?1z?0
F(z)z在无穷远处的留数等于零。可见，当k?0时，这时候，在围线以外只要考虑z?2处极点的留数就可以了。这时有：
f(k)??ResF(z)zk?1z?2?ResF(z)zk?1z????2k k?0
将k?0和k?0时的f(k)结果合并，可以得到与部分分式分解法相同的结论。
????§8-4 ZT与LT关系
ZT与LT有很多相似之处，也有很多联系。 一、
理想抽样信号的LT与其相应的离散序列的ZT
之间的关系。
通过§8-2节的推导，可以看出，抽样信号的LT与用其冲激序列的强度构成的信号序列的ZT之间的关系为：
T ，或
此时s平面与z平面之间的映射关系为：
1s?lnzz?esT，或 T 假设：
F(s)?F(z)z?esTF(z)?F(s)s?1lnzz?zej?，s???j? 则有：
z?e?T，???T
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