解答： （1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD， ∴∠EAG=∠BAD， ∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB， ∴∠EAB=∠GAD， ∵AE=AG，AB=AD， ∴△AEB≌△AGD， ∴EB=GD； （2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC， ∵∠DAB=60°， ∴∠PAB=30°， ∴BPAB=1， AP=∴EP=2∴EB=∴GD=． ， ==， =，AE=AG=， 点评： 本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等． 27．（13分）（2014?南通）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，M为射线AD上一动点，AM=a（a为大于0的常数），直线EM与直线CD交于点F，过点M作MG⊥EM，交直线BC于G．
（1）若M为边AD中点，求证：△EFG是等腰三角形； （2）若点G与点C重合，求线段MG的长；
（3）请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值．
考点： 四边形综合题． 分析： （1）利用△MAE≌△MDF，求出EM=FM，再由MG⊥EM，得出EG=FG，所以△EFG是等腰三角形； （2）利用勾股定理EM2=AE2+AM2，EC2=BE2+BC2，得出CM2=EC2﹣EM2，利用线段关系求出CM． （3）作MN⊥BC，交BC于点N，先求出EM，再利用△MAE∽△MDF求出FM，得到EF的值，再由△MNG∽△MAE得出MG的长度，然后用含a的代数式表示△EFG的面积S，指出S的最小整数值． 解答： （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠MDF=90°， ∵M为边AD中点， ∴MA=MD 在△MAE和△MDF中， ∴△MAE≌△MDF（ASA）， ∴EM=FM， 又∵MG⊥EM， ∴EG=FG， ∴△EFG是等腰三角形； （2）解：如图1， ∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a ∴BE=AB﹣AE=3﹣1=2，BC=AD=4， ∴EM2=AE2+AM2，EC2=BE2+BC2， ∴EM2=1+a2，EC2=4+16=20， ∵CM2=EC2﹣EM2， ∴CM2=20﹣1﹣a2=19﹣a2， ∴CM=． （3）解：如图2，作MN⊥BC，交BC于点N， ∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a ∴EM==，MD=AD﹣AM=4﹣a， ∵∠A=∠MDF=90°，∠AME=∠DMF， ∴△MAE∽△MDF ∴=， ∴=， ∴FM=， ∴EF=EM+FM=+=， ∵AD∥BC， ∴∠MGN=∠DMG， ∵∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠DMG=90°， ∴∠AME=∠DMG， ∴∠MGN=∠AME， ∵∠MNG=∠MAE=90°， ∴△MNG∽△MAE ∴=， ∴=∴MG=， ， ∴S=EF?MG=××=+6， 即S=+6， 当a=时，S有最小整数值，S=1+6=7． 点评： 本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是利用三角形相似求出线段的长度． 28．（14分）（2014?南通）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C，顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F． （1）求线段DE的长；
（2）设过E的直线与抛物线相交于M（x1，y1），N（x2，y2），试判断当|x1﹣x2|的值最小时，直线MN与x轴的位置关系，并说明理由；
（3）设P为x轴上的一点，∠DAO+∠DPO=∠α，当tan∠α=4时，求点P的坐标．
考二次函数综合题． 点： 分（1）根据抛物线的解析式即可求得与坐标轴的坐标及顶点坐标，进而求得直线BC的解析： 析式，把对称轴代入直线BC的解析式即可求得． （2）设直线MN的解析式为y=kx+b，依据E（1，2）的坐标即可表示出直线MN的解析式y=（2﹣b）x+b，根据直线MN的解析式和抛物线的解析式即可求得x2﹣bx+b﹣3=0，所以x1+x2=b，x1 x2=b﹣3；根据完全平方公式即可求得∵|x1﹣x2|==，所以当b=2时，|x1﹣x2|最小值=2==，因为b=2时，y=（2﹣b）x+b=2，所以直线MN∥x轴． （3）由D（1，4），则tan∠DOF=4，得出∠DOF=∠α，然后根据三角形外角的性质即可求得∠DPO=∠ADO，进而求得△ADP∽△AOD，得出AD2=AO?AP，从而求得OP的长，进而求得P点坐标． 解解：由抛物线y=﹣x2+2x+3可知，C（0，3）， 答： 令y=0，则﹣x2+2x+3=0，解得：x=﹣1，x=3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）； ∴顶点x=1，y=4，即D（1，4）； ∴DF=4 设直线BC的解析式为y=kx+b，代入B（3，0），C（0，3）得； ，解得， ∴解析式为；y=﹣x+3， 当x=1时，y=﹣1+3=2， ∴E（1，2）， ∴EF=2， ∴DE=DF﹣EF=4﹣2=2． （2）设直线MN的解析式为y=kx+b， ∵E（1，2）， ∴2=k+b， ∴k=2﹣b， ∴直线MN的解析式y=（2﹣b）x+b， ∵点M、N的坐标是的解， 整理得：x2﹣bx+b﹣3=0， ∴x1+x2=b，x1x2=b﹣3； ∵|x1x2|==， ∴当b=2时，|x1﹣x2|最小值=2， ∵b=2时，y=（2﹣b）x+b=2， ∴直线MN∥x轴． （3）如图2，∵D（1，4）， ∴tan∠DOF=4， 又∵tan∠α=4， ∴∠DOF=∠α， ∵∠DOF=∠DAO+∠ADO=∠α， ∵∠DAO+∠DPO=∠α， ∴∠DPO=∠ADO， ∴△ADP∽△AOD， ∴AD2=AO?AP， ﹣==∵AF=2，DF=4， ∴AD2=AF2+DF2=20， ∴OP=19， ∴P1（19，0），P2（﹣17，0）． 点本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的交点、顶点坐标、对称轴，以及相似三角评： 形的判定及性质，求得三角形相似是本题的关键．