第十章 热应力习题及解 习题1、如图10-1所示，将一圆锥体固定在两壁间，计算温度由T1升高到T2时所产生的压缩热应力。 图10-1 解：设圆锥体棒温度升高为??T2?T1，其线胀系数为?。在自由膨胀时，其伸长为??l 。 若假设壁给予的压缩力为P，而棒应缩短??l。各截面的粗细不同，因此各截面产生的热应力不同。与左端距离x的截面AB处的直径为dx，
dx?d1??d2?d1?x/l。设AB截面的面积为Sx，于是该截面上的压缩热应力为
?x??PSx??4P??d1???(d2?d1)lx???2
故AB处的应变为
?x???xE??4P?E?d1???(d2?d1)lx???2
与AB距离dx微段的缩短了?xdx，因此整个棒缩短
?l4Pdx0?E?d1???(d2?d1)lx???2?4Pl?Ed1d2???l
那么P??E?d1d2?/4，于是热应力为
???E?d1d2?(d2?d1)??d1?x??l??2x
最大热应力发生在截面积最小的左端，为?max??Ed2??/d1。
习题2、如图10-2所示，两根材料和长度都不相同的平行棒，它们的一端各自被固定，而另一
端连接在刚体板上可以一起轴向活动，通过弹簧受到另一壁的反作用，设两棒分别从最初的无应力
1
状态下温度升高了T1和T2，试计算两棒中的热应力。 棒1：E1,?1,S1,T1,?1 棒2：E2,?2,S2,T2,?2 图10-2 解：假定T2?T1,?2??1，则棒1的自由膨胀量为?1T1L1，而棒2的自由膨胀量为?2T2L2。棒2自由膨胀时伸长量大，故棒2除自由膨胀外，受到压缩而缩短，因压应力的缩短量为?2L2??2L2/E2，其最终伸长量为 ?2T2L2??2L2/E2。
而棒1除自由膨胀外，还因相应拉应力的伸长?1L1??1L1/E1，其最终伸长量为
?1T1L1??1L1/E1
其中?1,?2中包含了应力符号。
因右端连接在刚体板上一起轴向活动，两棒的总伸长量应相等，即
?1T1L1??1L1/E1??2T2L2??2L2/E2??l （a）
设弹簧的弹性常数为ks，则其压缩力为P?ksl，故有
?1S1??2S2?P （b）
可求得
?S2E2S1E1??1T1L11???2T2L2???S2E2L1S1E1L2ks?1T1L1S1?1?ksL1S1E1
?S1E1S2E2??2T2L21???1T1L1???S1E1L2S2E2L1ks?2T2L2S2?2?ksL2S2E2
讨论：
（1）若ks?0，弹簧非常柔软的情况下，刚体板仅起连接作用，此时
2
?1??E1??1T1L1??2T2L2?/L11?S1E1L2/S2E2L1'
再假设L1?L2,T1?T2?T，则
?1??E1T??1??2?'1?S1E1/S2E2。
（2）若ks??，弹簧不能伸缩，即为全约束下（即为上题情形），此时
?1??E1?1T1
对于?2，以上讨论完全类似。
习题3、如图10-3所示，重量为P=9072Kg的刚体块，吊在长为L1=30.5cm的钢棒和长为L2=61cm的铝棒下，现温度升高56?C。其中钢棒:
E1?2.1?10Kg/cm,?1?1.22?106262?5,S1?5.16cm
?52铝棒：E2?0.7?10Kg/cm,?2?2.22?10且认为棒受压后不会弯曲，试求各棒中的热应力。 ,S2?10.32cm，不考虑各棒的自重，2图10-3 解：利用第2题中的（a）式 ?1T1L1??1L1/E1??2T2L2??2L2/E2??l得 1.22?10?5?30.5?56??5?1?30.52.1?100.7?106?2.22?10?61?56??2?616
整理后得14.5?1?87.14?2?54998Kg 利用第3题中的（b）式得
2??1?5.16??
2?10.32?9072Kg
3
由上述两式可求出 ?1?1294Kg/cm,?2??415Kg/cm。
习题4、将钢制螺钉拧进铜管中长L，假定螺钉与铜管的截面积之比为S1/S2?1/2，钢制螺钉的纵向弹性系数为E1?2?10Kg/cm,?1?1.1?10E2?10Kg/cm,?2?1.65?1062?562?522，铜管的纵向弹性系数为
，试计算温度由20?C上升到220?C时的热应力。
解：由于是拧进去的，膨胀相互受到约束，伸长量必须相等，即将伸长量等式与合力平衡条件联立求解，可利用第2题中的讨论（1）
?1??E1T??1??2?'1?S1E1/S2E2
其中T?220?C?20?C?200?C，代入上式得
?1??2?10?6'?200?1.1?101?1/2?10??5?1.65?10?6?52?10?6??1100Kg/cm2
由合力平衡条件?1S1???2S2得
????S1/S2??1??12?1100??550Kg/cm22
习题5、证明：在二维热弹性问题中，使面内应力?拉普拉斯方程?T?0。
证明：热弹性力学的物理方程为
?x??y??z?1?1?1?[?[?[?x2x??y??xy?0的变温分布T一定满足
?v(??v(??v(?y??z)]??T,??x)]??T,??y)]??T,?????yz???1G1G1G?yz?xz ?xyyzxzzxxy现在为二维热弹性问题中，而面内应力?面应变问题均有?z?0 ，于是
?x??T,?y??T,?z??T,???xy??xy?0，故无论是平面应力问题，还是平
yz???1G1G1G?yz?0?xz?0 ?xy?0xzxy再据变形协调方程
4
??x?y22???y?x22???2xy?x?y,??y?z222???z?y22???2yz?y?z,??z?x22???x?z22???2zx?z?x
得 ?(?T?x22??T?y22)?0,?(?T?y22??T?z22)?0,?(?T?z22??T?x22)?0
三式相加得 2?(2?T?x?22?2?T?y2??T?z22)?0， 所以有
?(?T?x22?T?y?22)???T?0,即?T?0;或?T?z2222，得证。
)?2??T?0,即?T?0222?(?T?x2?T?y2?习题6、证明：在平面应力热弹性问题中，杜汉梅-偌衣曼原理可表述为：若在无体力及表面力作用时因变温T???1??1?引起的位移及应力u?与???(?,??1,2)。而该同一弹性体在等温情况下由体
?1?力????E?1??T,??使及表面力?T1?v1?v???1??2??E?1????所引起的位移及应力为u?与???(?,??1,2)，那么 ???2??2?u??u?,?????????1??2??E1??T?1????
证明：在平面应力热弹性问题中， 变形几何方程为：????12?u?,??u?,??，?kk?uk,k （a）
平衡方程为： ???,??f??0 （b）
????2G??????????kk?E1?2???T???,物理方程为：
????1?v?v??????E?1?v （c）
??????T???,kk 其中?为线膨胀系数
应力边界条件为： ???v??X? （d） 将（c）中第一式左右两边对x?求导，然后与（b）联立得：
???,??f??2G???,?????????E1?2?T,?????f?
2kk,?因为 2G???,??G(u?,???u?,??)?G(u?,???u?,??)?G?u??Ge,?，
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