?kk,??????kk,??uk,k??e,?,T,?????T,?
所以以位移表示的平衡方程为
G?u?????G?uk,k??2?E1?2vT,??f??0 （e）
?1??1?（1）若在无体力及表面力作用、即f??0,X??0时，因变温T???可由下列公式求得
?1?引起的位移及应力u?与
将f??0代入（e）式得
2(1)(1)位移公式： G?u?????G?uk,k???E1?2vT,?(1)?0 （f）
将X??0代入（d）式、再由（f）、（a）、（b）、（c）、（d）式得 应力分量公式： ??1?x?2G1?v?????v?????11xy?E1?vT?1? （g）
??1?y?2G1?vxy?????v?????11yx?E1?vT?1?
?xy?G??1?（2）同一弹性体在等温情况下、即T?0时，由体力f????E1?v?E1?vT,?及表面力
?1?X??T?1???所引起的位移及应力u?与???为
?2??2?将T?0、f????E1?vT,?代入（e）式得
?1?2(2)(2)位移公式：G?u?????G?uk,k???E1?2vT,?(1)?0 （h）
X???E1?vT?1???代入（d）式、再由（h）、（a）、（b）、（c）、（d）式得
应力分量公式： ??2?x?2G1?v???2?x?v?y?2?? （ｉ）
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??2?y?2G1?vxy???2?y?v?x?2??
?xy?G??1??2?（3）比较（f）和（h）式得：u??u? 因为u??u?，由（a）得?????
再比较（g）和（i）式得：?????????1??2??2??1??2??1??2??E1??T?1????
?1?故：若在无体力及表面力作用、即f??0,X??0时，无约束弹性体在温度变化T后，对
其每一很薄平面微元体的膨胀或收缩在该平面内给以完全的限制，即可设想在微元体的x，y方向施加压力P，从而做到因变温引起的?x??y???x??y?1Exy?0。所以P可由下式求得
?P?1??vP???T?1??0
而 P???E1?vT
这种压力分布可以一定的体力和面力作用在弹性体上来实现，对微元体说，也就是将
????P???E1?vxyT?1?
附加到等温情况下的应力状态。
习题7、如图10-4所示，一等厚度的矩形薄板，其温度只沿高度方向按T?T(y)变化，板端不固定，试计算因温度分布不均匀而引起的热应力，并据不同的约束情况和温度分布情况讨论热应力的分布。
图10-4
解：首先假设使板两端固定，此时板中每根纵向（x向）纤维因膨胀而引起的应变?T完全被限制，板中显然受到压力，其压应力为
??1?x???ET?y? （a）
但这样假设后，在板的两端面（x??l）上会有（a）式表示的应力分布，这不符合板两端面各点应力为零的实际情况。要满足板两端面各点应力为零的条件，只需在x??l面上加一个大小与
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（a）式相等而方向相反的应力系?ET?y?即可。这样加上的应力系沿端面积分所得的合力和合力矩为
Px?M??c?c?ET?y?bdy （b）
cz??c?ET?y?bydy （c）
据圣维南原理，由在端面所加应力系?ET?y?在远离端部所引起的应力，与Px,Mz所引起的应力相同，故有
??2?x?PxA?Px2bc??2c?1c?c?ET?y?dy （d）
??3?x?MzyIz?3Mzy2bc33y2c3?c?c?ET?y?ydy （e）
结果，在板中所产生的热应力，除了板端部附近外，是以上（a）、（d）、（e）三种应力的叠加，即
?x???1?x???2?x??1?3?xc ???ET?y???2c?c?ET?y?dy?3y2c3?c?c?ET?y?ydy （f）
讨论：
（1）如板只受到对弯曲的约束，则（f）式中?式中??2?x?3?x项不存在；如只受到对压缩的约束，则（f）
项不存在。
z（2）如果T(y)关于x轴对称分布（即为y的偶函数），则式（c）中的积分为零，即M那么（f）式中??3?x?0，
项不存在。
（3）如果T(y)关于x轴反对称分布（即为y的奇函数），则式（b）中的积分为零，即Px?0，那么（f）式中??2?x项不存在。
（4）如果T(y)为抛物线分布时，例如
yc22T(y)?T0(1?)
22则 ?x?23?ET0??ET0(1?23yc)
y??c处，?x??ET0 为拉应力；
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（5）如果T(y)的分布为T(y)?T0(1?yc)的情况下，则不产生热应力。
习题8、一个四边自由的厚矩形板，例如可认为图10-4中的b很大，并把它视为板宽，可以把2c视为板的厚度而得到的厚矩形板。其温度沿厚度方向按T?T(y)变化，试计算因温度分布不均匀而引起的热应力，并据温度分布情况讨论热应力的分布。
解：由于板在z方向很宽，故在z方向的纤维因T(y)不同而有不同量的热膨胀，因此板中除了?x外，还产生了?z。假设在z和x方向都受到完全约束，则??x??y??z?1E1E1E?0而
y??????x????????????y??????z????T????yzxzxy??????T?
???T???则必有?x??z?0，故在此假设情况下
??????ET?y?1?vxz
在z和x方向分别类似于第7题中的处理方法得板内（远离边缘处）各点的热应力为
?x??z???1?z???2?z????3?z ???ET?y?1?v3y2c3?2c?1?v?c?c1c?c?ET?y?dy （a）
??1?v???ET?y?ydy如果?E为常数（不随温度而变化），则上式变为
?x??z??E?1?v???T?y??12c?c?cT?y?dy ?3y2c3?c?cT?y?ydy? （b） ??当温度分布T(y)对称于xz面（中性面）时，上式右端第三项不存在，故板不产生弯曲。此时，设平均温度为Tm，则
Tm?12c?c?cT(y)dy,?T(y)ydy?0
?cc所以 ?x??z??E1?v?Tm?T?y??。
习题9、试证明：对于平面温度场，当设区域内的任意闭曲线为?时，不产生热应力的充要条
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2件是：且??T?0、
?T?n?和?P?z?dz?0（位移单值性），其中P?z?ds?0（闭曲线内部无热源）
?是实部为T的解析函数。
证明：
一、先证必要条件：
线性、各向同性热弹性体中的热传导方程为
?c?T?t??kT,i?,i????E?1?2vT0??kk
设?,c,?,k,E,?,v等材料常数不随温度变化，忽略耦合项?E?1?2vT0??kk，则热传导方程为
?T?t???T?2W?c
式中??k?c为导温系数，W???为单位时间每单位体积热源的发热量。
考虑三维情况，由于不产生热应力，自由膨胀情况下，其应变量为
?x??y??z??T?xy??yz??zx?0
代入应变协调方程得
??x?y22???y?x22???2xy?x?y,??y?z222???z?y22???2yz?y?z,??z?x22???x?z22???2zx?z?x
即 ?(?T?x22??T?y22)?0,?(?T?y22??T?z22)?0,?(?T?z22??T?x22)?0
三式相加得 2?(?T?x22?T?x222??T?y?T?z222??T?z22)?0， 所以有
2?(??T?y2?)?2??T?0,即?T?0
22且??T?n?ds?0（闭曲线内部无热源W=0），?P?z?dz?0（保证位移单值性），据热传导方
?程得
?T?t?0，这就是无热源定常温度场，也就是不产生热应力的必要条件。
二、证充分条件：
(一)充分条件一——闭曲线内无热源
以平面温度场来证明，平面应力状态下，在应力-应变关系式中令热应力为零，则有
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