?x??y??xy1E1E????yzx??????zxy???T???T??T??T （a）
yx?????0同样在平面应变状态下，令热应力为零，也有?x??y??1?v??T 将以上各式代入应变协调方程中得
?T?0 （b）
2此外，由?z?v??x??y???ETz可知，即使是不产生热应力的平面温度场，在平面应变状
态下，如有温度的变化，也会有????ET的热应力。
由（b）式可知，不产生热应力的平面温度场的必要条件是无内热源的定常温度场，但这并非充分条件。
在弹性体的变形中，旋转的定义为
???ux1??uy???2??x?y?? （c） ??但?必须是单值的。对于任意的两点a，b
??b????a???ba????????dx?dy?? （d） ?y??x?由（a）、（c）两式得
??22?ux1??uy???2?x2??x?x?y?2??ux??x???ux??T???????? ??????x?y?y?x?y?y???2 将上述两式代入（d）式中得
???y??uy?x?y???T?x
??b????a???ba???T?T????dx?dy?????y?x???b?T?nads
为使旋转是单值的，上式沿任意闭曲线?积分一周为零，所以
??T?n?ds?0
沿区域内任意闭曲线积分，这个条件必须成立。这个积分是与流出热量有关的量，故必须是横
截面内无热源的温度场。
(二)充分条件二——位移的单值性
根据?x??y，及?xy?0得
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?ux?x??uy?y,?uy?x???ux?y
显然ux,uy满足哥西-黎曼条件，于是可以定义一个函数
v?z??ux?iuy （e）
由（b）式可知，T是一个平面调和函数，因此它是某解析函数的实部，于是定义P?z?这样一个解析函数，即
P?z??T(x,y)?iS(x,y)
上式中S是T的共轭函数，S???。
此外，由（e）式得 v??z???P(z) 所以 v?z????P(z)dz?0
由于位移必须是单值的，从上式和（e）式可知，沿区域内任意闭曲线?积分一周为零，即
?P?z?dz?综上所述不产生热应力的充要条件是
?T?0、?2?T?n?ds?0、?P?z?dz?0。
?习题10、试分析坐标原点处热源引起的温度场。 解：现用极坐标表示，r?x?y22，??arctgyx，z?rei?，此温度场为
T?lnr
设想在r=0的周围有一圆，从这圆流出的热量为Q0，若板厚取为b，由傅立叶公式得
Q0?kb??T?nds?kb?2??lnr?r0rd??2?kb
对于这种情况，取
P?z??lnz?lnr?i?
在z=0处有奇点，故
v?z????P(z)dz???lnzdz??z?lnz?1?
当?从0变到2?，此值增加2?i?r，它不满足不产生热应力的条件，也就是在这种情况下会产生热应力。
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习题11、设热量通过板的上下表面向周围进行传递，试推导求解此定常温度场所产生的热应力的基本微分方程。 y图10-5 解：如图10-5所示在板中取出面积为dxdy，厚度为b的微元体来导出热平衡式。从x轴向的??T??bdy?x??一侧面bdy流入的热量为?k?，从其相对的侧面流出的热量为
2??T???2T??T?bdxdy。?k??dx?因此通过这两个面沿x轴方向流入的热量为k?同样沿y22???bdy，??x?x?x??????2T轴方向流入的热量为k?2???y??bdxdy。 ??若周围介质温度为TA，并设传热系数为?，则在两个表面上热传递为
2??T?TA?dxdy
由于是定常温度场，温度与时间无关，微元体中的热量保持不变，所以有
?T?x22??T?y22?m2?T?TA?，即?T?x22??T?y22?m2?T?TA??0 （a）
上式中 m?22?kb
为了方便，引入新变量?，??T?TA，（a）式可写成
???m???TA
222若周围介质温度一定，则?TA?0，故有 ???m? 因此此平面应力问题的热弹性位移势?满足 ????1?v?????TA?
2222 13
据第10题中所述的充要条件：当TA一定或为平面调和函数时，它是与应力无关的，于是热弹性位移势?满足微分方程
????1?v???
2此方程的特解为 ???1?v?那么有
?x??ux?x????x22??m2
,?y??uy?y????y22,?xy??ux?y2??uy?x?2???x?y2
?x?????2G2???x22?(??2G)??2??????2G2??y?2?2?? ??2G??????x2?
?y??2G???x22,?xy?2G???x?y2
所以由热弹性位移势?特解所产生的热应力为
??1?x??2G???y22??2G?1?v??m??2G???x222?2???y22???Em???x2??22?2??1?y???Em???Em?2?xy?2G?1????x?y?2?x?y2???2??y??? ????由于这个解在一般情况下不满足自由边界条件，所以改变它在边界上的值的符号，并以此作为边界条件，来解这样的等温弹性问题而求得的应力为?所求的热应力。
习题12、试求初始温度为T0、半径为b的实心圆柱体表面被冷却到零度时的非定常热应力。 解：设圆柱体侧面从t?0的瞬间急剧冷却到0?C，则由式
T?2T0b??2?x,??2?y,??2?xy，然后将二者叠加起来便得到
?n?1e??gnt2J0?rgn?gnJ1?bg?n （a）
（a）式中gn为下列方程的根
' gJ0?gb???J0?gb??0，其中?为传热系数，J0为第一种零阶贝塞尔函数。
（a）式中J1为第一种一阶贝塞尔函数。
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由（a）式得任意时刻t的温度分布
r??pt?T?T0?AnJ0??n?en （b）
b??n?1?（b）式中?n为方程J0????0的根， An?将（b）式代入下列各式中
??????Trdr?Trdr???r2??1?v?r0b0???E?1r1b???Trdr?Trdr?T?2??? 2?001?v?rb???E?2b???z??2?Trdr?T??1?v?b0???1r2?nJ1??n?，常数pn?k?nc?b22
?E?1b分别得出所求的热应力为
??2?ET0???r???1?vn?1?????r????r????J1??n???J0??n???????2?ET01b?pnt?1??b????b?????e????? ?221?vn?1?nrJ1??n??nJ1??n?????n?????????r????J0??n???????2?ET0?pnt?2??b????z???e??2??J????1?vn?1n1n??n??????????r???J?n?????1?1b?pt?1??b???en?2?2?????rJ?n1n?n???????习题13、试求初始温度为0?C、半径为b的实心圆柱体放入温度为TA的介质中时的的非定常热应力。
解：初始温度为0?C的实心圆柱体，从t?0的瞬间放入温度为TA的介质中，此时温度变化为
TTA??1?2A?en?1??nt?2??J0?r?n/b?2n?A2?J???0n （a）
（a）式中?n?bgn，而gn为下列方程的正根
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