gnJ1?gnb???J0?gnb??0，其中?为传热系数，J0为第一种零阶贝塞尔函数，J1为第一种一阶贝塞尔函数。
（a）式中的t?'?tb2，A?b?
对（a）式稍加修改为
2?2?T?TA?1?b???n?0e??gnt2?gJ0?rgn?2n??2??? （b）
gnJ1?bgn??将（b）式代入下列各式中
??????Trdr?Trdr???r2??1?v?r0b0??
??E?1r1b????2?Trdr?2?Trdr?T?1?v?r0b0????1r?E?1b分别得出所求的热应力为
???g2??2r21?vb?n?1n2? ??gnt2??E2?TAeb??????????gbJgr?Jgr?Jgb?n0n1n1n2222??1?vbgnJ1?gnb??r???n?1gn?????E2?TA2?e??gnt???b?????Jgr?Jgb1n1n2?gnJ1?gnb???r?2????习题14、空心圆柱辊子的外直径为2b?400mm，内圆孔直径为2a?80mm，线膨胀系数
??12?10?6/?C，弹性模量E?2.16?10N/mm52，泊松比v?0.3，辊子外侧表面温度为
Tb，内孔表面温度为Ta，试求该空心圆柱辊子的非定常热应力。
解：该空心圆柱辊子半径为r处的非定常热应力为
??b??ETa?Tb?bab?????r??ln??1ln???22?2?b2?1?v?rb?ara?????lna?22?b??ETa?Tb?bab???2?1?ln?? （a） ????2?1?ln2??b2?1?v?rb?ara?????lna?2??ETa?Tb?b2ab??z?1?2ln?2ln??2b?2?1?v?rb?aa???lna?22内外表面的应力为
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??r?a??z??r?b??z?????rr?a??rr?b?0???????2?E?Ta?Tb?12b???? （b） ??22r?ab2?1?v??b?a???ln?a?????????2?E?Ta?Tb?12a?????22r?bb2?1?v??b?a???ln?a????据（b）式得内外表面的应力为
?rr?a??rr?b?6?0 ?2.16?102?1?0.3?5??r?a??zr?a?12?10?Ta?Tb??12?200??2?200?40?ln522????
?2.707?Tb?Ta???r?b??zr?b?12?10?6?2.16?102?1?0.3?5?Ta?Tb??12?40??2?200?40?ln522????
??0.996?Tb?Ta?由（a）式得半径为处r的热应力为
?200?2002????r?1.15?Tb?Ta??ln?0.067??1?2????rr??????200???2002??????1.15?Tb?Ta??ln?0.067??1?1? ?2??r?r?????200???z?1.15?Tb?Ta??2ln?0.866??r????当温差?Tb?Ta?为正值时，则??及?z在外表面为压应力，而在孔内表面则为拉应力；径向应力?r沿整个辊子截面均为拉应力，而在辊子内外表面其值降为零。
习题15、如图10-6所示，无限长楔形坝体的中心角为2?，坝体的中心轴为x轴。首先，假定变温在中心轴上为T?T0，在两边为T?0，
（1）变温按cos?的一次式变化： T?T0cos??cos?1?cos?17
β β θ 图10-6 （2）变温与r成正比，并按cos?的一次式变化： T?T0r?cos??cos?h?1?cos???
其中h为某指定长度，例如坝高的一部分 试分别求该楔形坝体中的非定常热应力。
解：坝体的温度场，由于受到混凝土硬化发热的影响以及水温和气温变化的影响，分布复杂而且随时改变，上述变温分布已做特别简化。
2（1）设位移势函数为?，?应满足????1?v??T，取极坐标系，有
2??21?1????222?r?rr????r?cos??cos?????1?v??T0 (a) ?1?cos??2取位移势函数为 ??r?C1cos??C2? （b）
代入（a）式得
3C1cos??4C2??1?v??T0cos??cos?1?cos?
将上式两边的cos?项和常数项进行对比，得到 C1??1?v??T0
3?1?cos??C2???1?v??T0cos?
4?1?cos??代回式（b）得
???1?v??T01?2?1r?cos??cos?? （c）
1?cos?4?3?位移特解的应力分量为
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??1?r?1?????1?v??r?rE?1?????1?vE???1??r???1?v?r?E21??????22??r????2??? ?2?r?1??????r???? （d）
将（c）式代入上式得位移特解的应力分量为
1?1cos??cos??r1?cos??32E?T0?21?1??????cos??cos?1?cos??32E?T0?1??1??1??r????r???sin??1?cos??3???1???E?T0?????????? （e） ?????在边界上应力分量为如下常量
?1??cos????r????1?cos??6??E?T0?1???1??????cos??? ????1?cos??6????1??E?T0?r??1????????1???sin???1?cos??3??E?T0由此可见，为了满足边界条件，相应的位移补充解应力分量应当与r无关，而只是?的函数。于是利用第四章习题14中的（c）式所示的应力分量，并根据问题的对称性，?r和??只取其中的偶?项，而?r?只取其中的奇?项，从而有
???2Acos2??2D,???2????2Acos2??2D,? ?2??2??r????r?2Asin2???r?2?将上式与（e）式叠加，得
?r???1?r??????1??r??1?cos??r1?cos??3E?T0?2?2???????cos??1?cos??3E?T0?1??2????r??r???r???1?cos????2???E?T0??cos???2Acos2??2D,?2??1??cos???2Acos2??2D,? （f） 2???1???sin???2Asin2???3??1应用边界条件 ???????0,?r??????0
求出常数A及D，再代回（f）式，即得热应力
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?r?E?T0sin??cos?cos??cos3cos??1?cos??22???2?,????E?T0?cos??cos??r????r?,3cos??1?cos??E?T0sin??cos??cos?3cos??1?cos??????? ????其中最大拉应力是
?r?????E?T0?1?cos?3cos??。
2（2）设位移势函数为?，?应满足????1?v??T，取极坐标系，故
2??21?1????222??rr?rr????r?cos??cos??????1?v??T0 (g) ???h1?cos??2取位移势函数为 ??r?C1cos??C2? （h）
代入（g）式求出C1,C2，然后代回（h）式求出?，再将?代入（d）式得 位移特解的应力分量为
?1?cosrh?1?cos???4E?T0r?3?1??????cosh?1?cos???4E?T0r?1??1??r????r??h?1?cos???1???E?T0r??cos???3??2????cos??? （i）
3???1???sin?????4????1在边界上应力分量为如下常量
?1??cos????r????h?1?cos???12??E?T0r?1???1?????cos??? ?????h?1?cos???12????1??E?T0r?r??1????????1???sin???h?1?cos???4??E?T0r由此可见，为了满足边界条件，相应的位移补充解应力分量应当与r成正比，而对应的应力函数? 应当是r的三次式
??rf???
3将其代入相容方程
2??21?1????222?r?rr????r????0 ??2 20
解出f???，从而得出应力函数?，再利用如下求应力分量的公式
?2?r??1??r?r?2????2????r?r???21????22?r???2????2?r??1??????r??????
求得相应的应力分量为
??2r?3Acos3??3Bsin3??Ccos??Dsin??,???2????6r?Acos3??Bsin3??Ccos??Dsin??,? ?2??2??r????r?2r?3Asin3??3Bcos3??Csin??Dcos??????2?r根据问题的对称性，??2?r2?和??只取其中的偶?项，而?r??只取其中的奇?项，从而有
?2?B?D?0，将上式中剩余的各项与（i）式叠加，得
?r?????1?1???cos??cos??2r3Acos3??Ccos?,???h?1?cos???43??E?T0r32??????cos??cos???6r?Acos3??Ccos??,? （j）
h?1?cos???43???1??sin???2r?3Asin3??Csin?h?1?cos???4?E?T0rE?T0r?r????r??????应用边界条件
???????0,?r??????0
求出常数A及C，再代回（j）式，即得热应力
??2E?T0r?cos??cos???2cos??cos??????,? 23hcos??1?cos???22E?T0rsin?sin??sin???r????r?2?3hcos??1?cos???r??E?T0rcos?3??sin22?cos??cos?33hcos??1?cos???,???其中最大拉应力是
?r?????E?T0r?1?cos?3hcos??。
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