《信号与系统》 第三章：CT-LTI连续时间系统时域分析
第三章：连续时间线性定常系统时域分析
§3.1 系统的数学模型
LTI系统中各参量之间的相互关系及其随时间的演化，可以由下列四种模型描述。
R、L、C上的电压与电流关系——e?t?~i?t?关系模型 ?
或
电阻：
i?t??1e?t? R（3-1）
e?t??Ri?t?
（3-2）
图3-1 电阻
图3-2 电压作用于电阻产生电流 图3-3 电流作用于电阻产生电压
? 电感：
或：
e?t??Ldi?t??Lpi?t? dti?t??1t1e?d??e?t? ?????LLp（3-3）
（3-4）
图3-4 电感上的直流不产生电压
1
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图3-5 电流作用于电感产生电压 图3-6 电压作用于电感产生电流
?
或：
e?t??1t1i?d??i?t? ??C???Cp电容：
i?t??Cde?t??Cpe?t? dt（3-5）
（3-6）
图3-7 电容上的恒压不产生电流
1e(t)i(t)e(t)i(t)
CpCp
1 Cpe(t)i(t)Cpi(t)e(t)
图3-8 电压作用于电容产生电流 图3-9 电流作用于电容产生电压
? 求和（相加）：
y?t??f1?t??f2?t?
（3-7）
图3-10 信号汇聚流图
?
分支：
f1?t??f2?t??f3?t?
（3-8）
2
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图3-11 信号分支流图
须注意，信息可以拷贝，可以无限复制；而物质则只能被瓜分式共享。
LTI连续时间系统的状态空间模型： 例1：如图3-12电路
求：（1）y?t??v?t?，（2）x1?t?、x2?t??v?t? 解：列回路电流、电压方程：
v?t??4i1?t??2i2?t???x1?t??i2?t???1?2?t??i2?t??i3?t?x?2 ??x?1?t??x2?t??2?i2?t??i1?t???0?x2?t??3i3?t??0??y?t??2i3?t??消去i1、i2、i3，得下列方程：
??x?1?t????1?1??x1?t???1?????????2?v?t???状态方程??2??x??x2?t???????2?t????2?3?????0? ??2??x1?t????y?t???0???0?v?t? ????观测方程?3?????x2?t????
图3-12 例1电路图
?
定义（状态）：能够表征系统时域动力学行为的一组最小内部变量组。 物理上，状态的维数dim?(t) = 系统中独立储能元件的个数 状态的选取可以不唯一 状态空间模型：
3
? ?
?
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??t??AX?t??B?t?V?t?，状态方程??Xn?nn?r? Y?t??CX?t??D?t?V?t?，观测/输出方程?m?nm?r?T（3-9） （3-10）
其中，?(t) = ?v1(t)，v2(t)，……，vr(t)??L2r?t0，t??，为输入向量（r维）
?(t) = ?x1(t)，x2(t)，……，xn(t)??L2n?t0，t??，为状态向量（n维）
2?(t) = ?y1(t)，y2(t)，……，ym(t)??Lm?t0，t??，为输出向量（m维）
TT?(t) =?x?(t)，x?(t)，……，x?(t)?T X12n
图3-13 系统的状态空间模型
?
方程的解为：
?X?t??eAtX?0??teA(t-?)BV???d??0?? tAtA(t-?)?Y?t??CeX?0????CeB?D?(t??)??V???d?0??（3-11） （3-12）
若?(t)、?(0)已知，则?(t)、?(t)可确定。 注：（3-11）的两项分别是状态向量的零输入响应与零状态响应； （3-12）的两项分别是输出向量的零输入响应与零状态响应。 LTI系统的微分方程模型：
具有n个独立储能元件的单输入单输出（SISO）系统，输出输入关系为：
y?n??t??an?1y?n?1??t??...?a1y?1??t??a0y?0??t??bmv?m??t??bm?1v?m?1??t??...?b1v?1??t??b0v?0??t?
已知输入?(t)、输出初值y?0?、……、y?n?1??0?，求y (t) = ？ 求解步骤：
（1）求齐次解：由微分方程列特征方程?n?an?1?n?1???a1??a0?0，求出n个特
?it征根?i，i?1,?,n，则齐次解为yh?t???i?1Ae，有n个待定系数Ai，i?1,?,n；对于ink重根?1，其所对应的齐次解为y1?t?????1tk?iAte，有 k项。 ii?1k?（2）求特解，根据输入信号形式确定；其中待定系数可将特解带入原微分方程通
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过同类函数对应系数相等来求得。
表3-1 激励e(t) E（常数） tp 响应r(t) 的特解形式 B B1tp?B2tp?1?...?Bpt?Bp?1 Beat eat cos??t? sin??t? B1cos??t??B2sin??t? tpeatcos??t? tesin??t? pat?Bt?Bt?...?Bt?B?ecos??t? ??Dt?Dt?...?Dt?D?esin??t?pp?1at12pp?1pp?1at12pp?1注：① 表中B、D为待定系数；
② 若e(t)由多种信号线性叠加而成，则特解也为相应的叠加；
③ 若表中的特解与齐次解相同，用?Bt1?B2?乘以表中特解作为特解。例如，
e?t??eat，而特征根也是a，即齐次解为eat，则特解为?B1t?B2?eat；若a是k重根，则特解为?B1tk?B2tk?1???Bk?eat。
（3）全解=齐次解+特解，代入n个边界条件，求出第（1）步里的n个待定系数
Ai，i?1,?,n。这里所谓的边界条件视具体问题而定，见下节“初始条件”的讨论。
LTI系统的系统算子模型： ?
ddnn令：p?，...，p?n，则微分方程模型化为算子模型：
dtdtnn?1m???p?ap?...?ap?ayt?bp?...?b1p?b0???n?110m????v?t?
令：D?p??pn?an?1pn?1?...?a1p?a0
N?p??bmpm?...?b1p?b0 有：
有： y?t??N?p?v?t??H?p?v?t? D?p?（3-13）
其中，H?p???
注意三点：
N?p? 称为系统算子，它对信号的作用不是相乘的关系。 D?p?5