《信号与系统》 第三章：CT-LTI连续时间系统时域分析
n S(T,f)?s(T,f)?这里?i?Mi?mi
???xii?1i?0
S?T,f??s(T,f)? 可积条件2：inf???0 T? 我们还可给出下面的条件：
可积条件3 f?t?在?a,b?上的所有不连续点构成零测度集。这是一个充分条件，不是充要条件。
注意 条件1、2的缺点是没有将函数的可积性最后归结到函数的其它内在性质（如连续性
等）上面去。可积条件3要好得多。 但是，R可积有以下局限性： 1．积分与极限可交换的条件太严
由数学分析的知识知道，一般要在一致收敛的条件下，积分运算与极限运算才可以交换顺序。
2．积分运算不完全是微分运算的逆运算
鉴于Ｒiemann积分的局限性，人们长期以来致力于改进，直到1902年法国数学家Lebesgue才成功地引入了一种新积分，后人称之为Lebesgue积分。由于它在很大程度上摆脱了Ｒ积分的局限性，而且大大地扩充了可积函数的范围，所以今天已成为分析数学中不可缺少的工具。
勒贝格积分（Lebesgue integral）及其性质
【基本要求】
本节对定义在测度有限的可测集上的有界函数定义了勒贝格积分，并给出了可积的一个条件和它们的四则运算性质。通过学习，要了解，函数勒贝格可积与可测是等价的，黎曼可积函数是勒贝格可积的，并且其积分值相等。 【主要内容】
定义1 设E是非空可测集，如果E??E，其中E为互不相交的非空可测集，则称有
inii?1//限集合族D??Ei?是一个可测分划，简称分划。D?Ei是E的另一个分划。如果对于任一
??Ej/?D/，存在Ei?D，使Ej/?Ei，称D/比D细。
引理1 给定E任两个分划D、D，必存在比它们都细的第三个分划
/
D//?Ei?E/jEi?D,E/j?D/且Ei?E/j??
///?? 记为： D?DD
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显然D合乎要求。
定义2 设f(x)是定义在测度有限的集E上的有界函数，对E的任一分划D??Ei?， 令Bi?//supf(x)，b?inff(x)
ix?Ex?E 则S(D,f)??BmE，s(D,f)??bmEiiiiii分别称为f(x)关于分划D??Ei?的大和、
小和（它们由D完全确定）。mEi是Ei 的一种测度。 引理2 （1）设B?supf(x)，b?inff(x)，则
x?Ex?E bmE?s(D,f)?S(D,f)?BmE
（2）设分划D比D细，则s(D,f)?s(D/,f),S(D,f)?S(D/,f)， （3）对于任两个分划D与D，总有，s(D,f)?S(D/,f)， （4）的。
证明：由定义很容易证明这些结论是显然的。
定义3 设f(x)是定义在测度有限的集E上的有界函数，记
//sups(D,f)?infS(D,f)，这里上、下确界是对E的所有可能的分划取
DD
?aEf?x?dx?infS(D,f),?D?Ef?x?dx?sups(D,f),
D分别称为f(x)在E上的(L)上、下积分。
如果
?aEf?x?dx??E?E且称此积分值为f(x)在E上f?x?dx，则称f(x)在E上(L)可积，
的(L)积分，记为
?f?x?dx。
由以上有限可测集上有界函数的(L)积分定义，可看到它在形式上同R积分完全类似。除了积分区域更一般外，主要不同之处在于采用的测度和分划的不同，即那里的区间在这里一律换成了L可测集。
因此，有下面类似的结论——性质。
定理1 设f(x)是定义在测度有限的可测集E上的有界函数，则f(x)在E上(L)可积的充要条件为：
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对任何??0，存在E的分划D使得： S(D,f)?s(D,f)???mE??，这里?iiii?Bi?bi
定理2 设f(x)是定义在测度有限的可测集E上的有界函数，则f(x)在E上(L)可积的充要条件是f(x)在E上可测。
定理3 设f(x)，g(x)是定义在测度有限的可测集E上的有界函数，且(L)可积，则
f(x)?g(x)，f(x)?g(x)，f(x)/g(x)（但inf的。
证明：略。
g(x)?0,f(x)在E上是f(x)可积
x?E 定理4 设f(x)在?a,b?上R可积，则它必同时(L)可积，且有相同的积分值。
?baf(x)dx???a,b?f(x)dx
证明：首先f(x)是有界的，其次f(x)在?a,b?上R可积，则必几乎处处连续，从而可测，因而(L)可积。最后由积分的定义知道其值是相同的。
注意 定理4的逆定理是不成立的。例如，在?0,1?上的狄里克雷函数不是R可积的，但作为简单函数是可测的，从而是(L)可积的。
The End
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