《信号与系统》 第三章：CT-LTI连续时间系统时域分析
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N?p?与D?p?的公因式一般不可相消
例如：由px=py，不能把两边的p消掉而得x=y，因为x=y+c。
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p与
1的顺序不可交换 ptd1dt1例如：px?t???x?t?dt?x?t?，而px?t??? x?t?dt?x?t??x????。??dtpdt??p?
?
不同的物理系统，输入-输出方程可能相同，但含义不同
1。H1(p)对输入v?t?作用产p??对H?p?因式分解，基本单元为H1(p)?生输出y1(t)?1v(t)，即y1?(t)??y1(t)?v(t)，齐次解y1h(t)?e??tu(t)；p??对于输入??t?，其特解为B?t?t?0??0，单位冲激响应为h1(t)?e??tu(t)，则y1(t)?h1(t)?v(t)??e??(t??)u(t??)v(?)d???e???t???v???d?。综上有：
??0?t
零状态t1??t??v?t???e??v???d??e??tu?t??v?t?0p??
??e0t（3-14）
???v?t???d?由（3-14）式可进一步推得下面的（3-19）式。
§3.2 LTI系统的响应
LTI系统的微分方程：
y?n??t??an?1y?n?1??t??...?a1y?1??t??a0y?0??t??bmv?m??t??bm?1v?m?1??t??...?b1v?1??t??b0v?0??t?
先来关注几个重要概念： ? ?
?n?1?起始状态（0?状态）：?y0，?，y???0??????，简记为?(0-)
?n?1?初始状态（0?状态）：?y0，?，y???0??????，简记为?(0+)，亦称为初始条件
TT? ?
一般地，?(0-)≠?(0+)，这是因为有了输入的激励作用。
零输入（zero input）响应yzi?t?：无外加激励信号的作用，即v?t?≡0，由起始状态?(0?)≠0所产生的响应；此时，?(0+)=?(0?)。
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《信号与系统》 第三章：CT-LTI连续时间系统时域分析
?
零状态（zero state）响应yzs?t?：起始时刻系统储能为0，即?(0?)≡0，由系统的外加激励信号v?t??v?t?u?t??0所产生的响应；此时，系统储能将发生变化，可能瞬间发生跳变，即?(0+)???(0?)=0。
下面讨论系统在t?[0, ??)的输出，表示所求的响应从0+开始。 零输入响应yzi?t?：
y?n??t??an?1y?n?1??t??...?a1y?1??t??a0y?0??t??0，? (0-)≠0
（3-15）
特征方程：
特征根：
在无重根的情况下：
?ityzi?t???Aeu?t?ii?1nY?0??=?Y?0???n?an?1?n?1?...?a1?1?a0?0
?1，?2，?，?n
（3-16）
（3-17）
（3-18）
有k重根?1时，对应这个重根的解有k项，yzi1?t??其中Ai由初始条件?(0+)=?(0?)≠0代入求得。
??ki?1k?iAte?1t。 i?注意：无外界输入，仅靠初始储能不为零而产生的输出必然随着时光的流逝
而衰减到零！只是衰减的快慢不同而已。那么衰减的快慢取决于什么呢？请读者思考它取决于什么因素，我们将在系统的“模态分析”章节里作深入讨论。 零状态响应yzs?t?：?(0?)=0，v?t??v?t?u?t??0
yzs?t?? ?N?p?v?t??H?p?v?t?D?p?N?p???p???ii?1nv?t?，?i为互异特征根
（3-19）
?nt?1t ?N?p??eut???eu?t??v?t??????此式不难从本讲义（3-14）式推得。特征根符号故意取反了，呵呵??。
?it? yzs?t??齐次解项?Ae＋特解项B?t? ii?1n（3-20）
注意：
① 特解B?t?反映了输入对输出的胁迫——小子哎，跟老子走！
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《信号与系统》 第三章：CT-LTI连续时间系统时域分析
② 在输入激励下，?(0+)≠?(0-)=0，Ai由?(0+)带入（3-20）式确定；齐次解项由输入激发系统的特征根而产生，且当特征根小于零时都衰减至零。 由于输入的激励，系统在[0-，0+]瞬间建立了初始储能，从零起始状态变为“非．．零”初始状态。我们所关心的是系统在t?[0+, ?)区间的响应，须将?(0+) ? ?(0?)．．的初始值代入到（3-20）式yzs?t?里求待定系数Ai。这一点在解题时常被混淆。 系统响应y?t?（一般情况）：
① 列些电路的微分方程：根据电路形式，列回路方程，整理得到微分方程。 ② 求出系统的完全响应：齐次解（含待定系数）+特解。
③ 确定完全响应中的待定系数：根据系统的0-状态求出0+状态，作为条件列方程求解待定系数。求解0+状态可以利用“无冲击电流，电容电压不突变；无冲击电压，电感电流不突变”，结合电路进行求解；另外可以使用冲击响应不变法求解，是一种数学方法，避免了电路分析的过程（见后面）。
利用电路定理定律分析电路结构列写微分方程组将微分方程组整理为一元高阶微分方程齐次解（系数待定）特解查表完全解=齐次解+特解定系数得最终解0+状态0-状态 图3-14 系统响应求解步骤
起始状态到初始状态的求解方法——冲激函数匹配法：
系统初始状态可能不等于起始状态，?(0+)??(0?)。这种从0?状态到0+状态的“变化”，是由输入引起的。若输入含??t?或其各阶导数，则0?到0+存在状态“跳变”。
冲激函数匹配法，是用来从起始状态求初始状态的数学技巧，其原理是t=0时刻微分方程左右两端的??t?及其各阶导数平衡匹配。使用时须注意以下两点：
（1）? u(t)与u(t)的区别：u(t)是从0跳变到1；而? u(t)是从? 跳变到?+1，?≥0。 （2）y(t)?a ? u(t)，则有y(0?)?y(0?)?a；
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《信号与系统》 第三章：CT-LTI连续时间系统时域分析
y?(t)?a?(t)?b? u(t)，则有y?(0?)?y?(0?)?b； y??(t)?a??(t)?b?(t)?c? u(t)，则有y??(0?)?y??(0?)?c。
系统响应：分解为零输入响应与零状态响应之和：y?t??yzi?t??yzs?t? 系统响应：分解为自由响应与强迫响应之和：
?it系统响应＝{齐次解?Ae＋特解B?t?}|带入?(0+)≠?(0?)求得待定系数Ai (t≥0) ii?1n
自由响应 强迫响应（受迫响应） （瞬态响应） （稳态响应）
系统的自由响应由特征根（对应与第四章将要研究的系统的极点）决定，是系统自身的属性，故亦可形象地称为自有响应。它包括两部分：一部分由起始状态（初始储能）通过极点引发，构成零输入响应；另一部分由输入激励通过极点激发。二者都使系统的“本色”得以展现，形成输出。
强迫响应则只与激励信号有关，而与系统极点（本色）无关。 综上讨论，我们有下列系统响应的分解表达式：
y?t???k?1Ake?kt??????nn（自由响应）（强迫响应）?ktnB?t?? ??k?1Azike??k?1Azske?B?t????????????????kt
（零输入响应）（零状态响应）由上式可见，自由响应包括两部分：①零输入响应部分，由起始状态引发；②零状态响应部分，由输入信号引发。一般地，特征根为负，自由响应将趋于零，称之为瞬态响应。而强迫响应将跟随输入信号而变，称之为稳态响应。
非零状态线性系统：
可以想见，当系统起始状态为零，即?(0?)＝0，则系统是LTI的。
如果起始状态非零，即?(0?)≠0，则由于响应中零输入分量的存在，导致系统的全响应对外加激励信号不满足叠加性和均匀性，也不满足时不变性，是非线性的、时变的系统。此外，响应的变化不只是发生在激励信号加入之后，因此系统也是非因果的。
那么，系统在非零状态时，怎样讨论其线性属性呢？
?
定义（非零状态线性系统）：系统T的起始状态为?(0?)≠0，
???x1?0??，v1?t????x1?t?，y1?t??若 ?，
???x2?0??，v2?t????x2?t?，y2?t??9
?(t) ? T ? ?(t) 系统状态?(t)、?(0?)
即，起始状态x(0-)和输入v (t)引起状态x(t)和输出y(t)的演化，且有 《信号与系统》 第三章：CT-LTI连续时间系统时域分析
??x1?0??，v1?t?? ? ??x2?0??，v2?t?? ???x1?t?，y1?t?? ? ??x2?t?，y2?t??
（3-21）
此时称T为非零状态线性系统。 ?
非零状态线性系统的分解：
v?t?+0? ? ?0，v?t?? ? ?x?0?， 0 ? ?x?0?，v?t?? ? ?0?x?0?，?? ? 即：非零状态线性系统 = ?? = 零状态系统 + 零输入系统
即：非零状态线性系统，是零状态线性系统与零输入线性系统的叠加。 推论：线性系统响应＝零状态响应＋零输入响应。 §3.3 LTI系统的冲激响应与阶跃响应
定义（冲激响应h?t?）：输入为单位冲激函数时的零状态响应。
h?t??T??t?
（3-22）
定义（阶跃响应ystep?t??ys?t?）：输入为单位阶跃函数时的零状态响应。
ys?t??Tu?t?
h?t?与ys?t?的关系：（可通过图示推导）
（3-23）
1ys(t)?Tu(t)?T?(t)p零状态t1T?(t)??h(t)dt
??p（3-24）
h?t??T??t??Tpu?t?零状态pTu?t??pys?t??dys?t? dt（3-25）
求h?t?的步骤：
yzs?t??H?p?v?t??v?t????t?，h?t??N?p?v?t? D?p?N?p???t?（算子作用） D?p?若：degN(p) = degD(p) + q，q ? 0，且不存在零极相消时， 则系统算子可分解为：
N?p?E?p?qq?1 H?p????qp??q?1p?...??1p??0?D?p?D?p?n??， ?其中：D?p????p??j?? ???ip??i?0j?1p??jj?1??qinbj而：degE(p) < degD(p)
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