《信号与系统》 第三章：CT-LTI连续时间系统时域分析
?h?t??H?p???t????i?i?0q?i??t???bje?tu?t?
jnj?1（3-26）
§3.4 卷积
卷积由欧拉（Euler）、泊松（Poisson）发明，由杜阿美尔（Duhamel）发展。
由本讲义第一章（1-77）式可知，零状态LTI系统的响应，正是单位冲激响应对输入信号的卷积变换。
下面给出卷积运算的一般定义，并讨论信号卷积的性质。
定义（卷积）：对任意两个信号f1?t?、f2?t?，两者的卷积运算定义为：
性质：
1假设：?f?t?、g?t?、h?t??L???，L1???是绝对可积函数的全体。
f1?t??f2?t??????f1???f2?t???d?
（3-27）
代数性质： ? ? ? ?
线性： 可结合性： 可交换性：
f?t??g?t??g?t??f?t?
（3-28）
f?t???g?t??h?t????f?t??g?t???h?t?
（3-29）
??f?t???g?t???h?t???f?t??h?t???g?t??h?t?
定义（L1范数，Norm）：ft?易有：
t???1??f?td（3-30）
为f(t)的L1范数。
f?t??g?t?1?f?t?1g?t?1
（3-31）
证明：f?t??g?t?1? ????f???g?t???d?1
???f???g?t???d?dt
?? ???f???g?t???d?dt， ? ? f ?t?dt??f?t?d t??11
《信号与系统》 第三章：CT-LTI连续时间系统时域分析
??f????g?t ???ddt? （ 积 分换序 ）?? ??f???g??t1d????f?t1?g? 1t? ?
与冲激函数的卷积：
f?t????t??f?t?
冲激函数的L1范数：
（3-32）
???t?dt????t?dt?1
??（3-33）
注：??t?既非黎曼积分（Riemann integral），亦非勒贝格（Lebesgue integral）积分。参见本章附录。 拓扑性质：
? 微分性质： ? ?
d?d??d? ft?gt?ft?gt?ft?gt????????????????dt???dt?dt????（3-34）
积分性质：
?tg???d????tf???d???g?t? f??g?d??ft??????????????（3-35） ??????????????t与冲激偶的卷积：
f?t?????t??f??t?
（3-36）
用广函导数性质或（3-32）、（3-34）两式均可推得此结论。且可知：
?
f?t????n??t??f?n??t?
与阶跃函数的卷积：
f?t??u?t??????（3-37）
f???u?t???d???t??f???d??1f?t? p（3-38）
例2：如图3-15
求：y?t??v?t??h?t???h???v?t???d?
????
图3-15 例2图
解：
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《信号与系统》 第三章：CT-LTI连续时间系统时域分析
图3-16 镜像、移位
??122t ，0?t?1????3?23yt??????t??? ，1?t?2 ??2?4?1??t?3?2 ，2?t?3?2?0 ，其它 图3-17 有重叠移位的三种情形
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The End
《信号与系统》 第三章：CT-LTI连续时间系统时域分析
本章重点与难点
状态及状态的维数 ***
LTI系统的微分方程模型 **** LTI系统的算子模型 *****
LTI系统算子方程求解，求h(t) ***** 从起始状态求初始状态 *** LTI系统响应的分解 ****
LTI系统自由响应和强迫响应的求解 **** LTI系统零输入、零状态响应的求解 ***** 卷积的性质 *****
熟练求解两函数卷积 *****
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《信号与系统》 第三章：CT-LTI连续时间系统时域分析
附录：
黎曼积分（Riemann integral）
【基本要求】
简要回顾黎曼积分的定义及可积条件，用测度的观念给出了函数黎曼可积的一个充要条件。通过学习，要了解一个前所忽视的重要结论：函数黎曼可积的充要条件是函数几乎处处连续。 【主要内容】
定义1：设f?t?在?a,b?有界，T表示?a,b?的任一分划：a?x1?x2??xn?b，这里，n为任一自然数，可随T而不同。设Mi、mi分别表示f?t?在?xi?1，xi?上的上、下确界，i = 1, 2, …, n，
S?T,f???Mi?xi，s?T,f???mi?xi
i?1i?1nn分别叫做f?t?关于分划T的大和数（达布上和）与小和数（达布下和），这里?xi?xi?xi?1
?f?x?dx?infS?T,f?，上和的下确界（积分号上横线）
abaT?f?x?dx?infs?T,f?，下和的上确界（积分号下横线）
baT分别叫做f?t?在?a,b?上的达布上积分与达布下积分，这里上、下确界是对?a,b?的任意分划T而取的。如果
?baaf?x?dx??f?x?dx （*）
ba（一般地，有
?baaf?x?dx??f?x?dx）
ba则称f?t?在?a,b?上R可积，并称此积分值为f?t?在?a,b?上的积分，记为?f?x?dx。
ab注：积分符号上、下的横线“?”，是一个记号，并非表示积分上限为?b、下限为?a。 例如，狄利克雷（Dirichlet，狄利赫莱）函数D（x），它在?0,1?中的有理数点上取值为1，在其余点取值为0，则D（x）在?0,1?上有界，但（*）式不成立，因此（R）不可积，但（L）是可积的，积分值为0。
两种积分定义的等价性建立在下面的定理上。 达布定理 当分划T的最大区间长?(T)?0时，
；s(T,f)??f?x?dx（下和趋于上确界） S(T,f)??af?x?dx（上和趋于下确界）aabb 由数学分析知识可知，f?t?在?a,b?上R可积有下列条件： 可积条件1：当?(T)?0时，
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