曲一线科学备考
已知函数f(x) =x-1+(a∈R, e为自然对数的底数). (Ⅰ) 若曲线y=f(x) 在点(1, f(1)) 处的切线平行于x轴, 求a的值; (Ⅱ) 求函数f(x) 的极值; (Ⅲ) 当a=1时, 若直线l: y=kx-1与曲线y=f(x) 没有公共点, 求k的最大值.
56.(2013福建，20,12分) 如图, 抛物线E: y2=4x的焦点为F, 准线l与x轴的交点为A. 点C在抛物线E上, 以C为圆心, |CO|为半径作圆, 设圆C与准线l交于不同的两点M, N. (Ⅰ) 若点C的纵坐标为2, 求|MN|; (Ⅱ) 若|AF|2=|AM|2|AN|, 求圆C的半径.
答案
文数1. A 2.D 3. C 4.D 5.B 6.A 7.C 8.C 9.D 10.B 11.D 12.B 13.C 14. D 15.A 16.C 17.B 18. D 19. (-∞, 0) 20. 21. 1 22. 23.
-=1 24. e 25. (±2, 1) 26.
27. 28.-1 29. (Ⅰ)由f(e)=2得b=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)=-ax+2+axln x. 从而f '(x)=aln x. 因为a≠0, 故:
(1)当a>0时, 由f '(x)>0得x>1, 由f '(x)<0得0 第11页 / 共 50页 曲一线科学备考 (2)当a<0时, 由f '(x)>0得0 综上, 当a>0时, 函数f(x)的单调递增区间为(1, +∞), 单调递减区间为(0, 1);当a<0时, 函数f(x)的单调递增区间为(0, 1), 单调递减区间为(1, +∞). (Ⅲ)当a=1时, f(x)=-x+2+xln x, f '(x)=ln x. 由(Ⅱ)可得, 当x在区间内变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表: x f '(x) f(x) - 1 (1, e) e 0 + 2- 单调递减 极小值1 单调递增 2 又2-<2, 所以函数f(x) 的值域为[1, 2]. 据此可得, 若则对每一个t∈[m, M], 直线y=t与曲线y=f(x)都有公共点; 并且对每一个t∈(-∞, m)∪(M, +∞), 直线y=t与曲线y=f(x)都没有公共点. 综上, 当a=1时, 存在最小的实数m=1, 最大的实数M=2, 使得对每一个t∈[m, M], 直线y=t与曲线y=f(x) 都有公共点. 30. (Ⅰ)由f '(x)=x2-2x+a及题设得 即 (Ⅱ)解法一:(i)由g(x)=x3-x2+3x-2+得g'(x)=x2-2x+3-. ∵g(x)是[2, +∞)上的增函数, ∴g'(x)≥0在[2, +∞)上恒成立, 即x2-2x+3-+∞)上恒成立. 设(x-1)2=t. ∵x∈[2, +∞), ∴t∈[1, +∞), ≥0在[2, 即不等式t+2-≥0在[1, +∞)上恒成立. 第12页 / 共 50页 曲一线科学备考 当m≤0时, 不等式t+2-≥0在[1, +∞)上恒成立. 当m>0时, 设y=t+2-, t∈[1, +∞). 因为y'=1+>0, 所以函数y=t+2-在[1, +∞)上单调递增, 因此ymin=3-m. ∵ymin≥0, ∴3-m≥0, 即m≤3. 又m>0, 故0 (ii)由(i)得g(x)=x3-x2+3x-2+, 其图象关于点Q成中心对称. 证明如下:∵g(x)=x3-x2+3x-2+, ∴g(2-x)=(2-x)3-(2-x)2+3(2-x)-2+ =-x3+x2-3x++, 因此, g(x)+g(2-x)=. 上式表明, 若点A(x, y)为函数g(x)的图象上的任意一点, 则点B的图象上, 而线段AB中点恒为点Q 也一定在函数g(x), 由此即知函数g(x)的图象关于点Q成中心对称. 这也就表明, 存在点Q, 使得过点Q的直线若能与函数g(x)的图象围成两个封闭图形, 则这两个封闭图形的面积总相等. 解法二:(i)由g(x)=x3-x2+3x-2+得g'(x)=x2-2x+3-. ∵g(x)是[2, +∞)上的增函数, ∴g'(x)≥0在[2, +∞)上恒成立, 即x2-2x+3-≥0在[2, +∞)上恒成立, 设(x-1)2=t. ∵x∈[2, +∞), ∴t∈[1, +∞), 即不等式t+2-≥0在[1, +∞)上恒成立. 所以m≤t2+2t在[1, +∞)上恒成立. 令y=t2+2t, t∈[1, +∞), 可得ymin=3, 故m≤3, 即m的最大值为3. 第13页 / 共 50页 曲一线科学备考 (ii)由(i)得g(x)=x3-x2+3x-2+, 将函数g(x)的图象向左平移1个长度单位, 再向下平移个长度单位, 所得图象相应的函数解析式为φ(x)=x3+2x+, x∈(-∞, 0)∪(0, +∞). 由于φ(-x)=-φ(x), 所以φ(x)为奇函数, 故φ(x)的图象关于坐标原点成中心对称. 由此即得, 函数g(x)的图象关于点Q 成中心对称. 这也就表明, 存在点Q , 使得过点Q的 直线若能与函数g(x)的图象围成两个封闭图形, 则这两个封闭图形的面积总相等. 31. 解法一:(Ⅰ)依题意, 得f '(x)=x2+2ax+b. 由f '(-1)=1-2a+b=0得b=2a-1. (Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=x3+ax2+(2a-1)x, 故f '(x)=x2+2ax+2a-1=(x+1)(x+2a-1). 令f '(x)=0, 则x=-1或x=1-2a. ①当a>1时, 1-2a<-1. 当x变化时, f '(x)与f(x)的变化情况如下表: x f '(x) f(x) (-∞, 1-2a) + 单调递增 (1-2a, -1) - 单调递减 (-1, +∞) + 单调递增 由此得, 函数f(x)的单调增区间为(-∞, 1-2a)和(-1, +∞), 单调减区间为(1-2a, -1). ②当a=1时, 1-2a=-1. 此时, f '(x)≥0恒成立, 且仅在x=-1处f '(x)=0, 故函数f(x)的单调增区间为R. ③当a<1时, 1-2a>-1, 同理可得函数f(x)的单调增区间为(-∞, -1)和(1-2a, +∞), 单调减区间为(-1, 1-2a). 综上:当a>1时, 函数f(x)的单调增区间为(-∞, 1-2a)和(-1, +∞), 单调减区间为(1-2a, -1); 当a=1时, 函数f(x)的单调增区间为R; 当a<1时, 函数f(x)的单调增区间为(-∞, -1)和(1-2a, +∞), 单调减区间为(-1, 1-2a). (Ⅲ)由a=-1时, 得f(x)=x3-x2-3x. 第14页 / 共 50页 曲一线科学备考 由f '(x)=x2-2x-3=0, 得x1=-1, x2=3. 由(Ⅱ)得f(x)的单调增区间为(-∞, -1)和(3, +∞), 单调减区间为(-1, 3), 所以函数f(x)在x1=-1, x2=3处取得极值. 故M, N(3, -9). 所以直线MN的方程为y=-x-1. 由得x3-3x2-x+3=0. 令F(x)=x3-3x2-x+3. 易得F(0)=3>0, F(2)=-3<0, 而F(x)的图象在(0, 2)内是一条连续不断的曲线, 故F(x)在(0, 2)内存在零点x0, 这表明线段MN与曲线f(x)有异于M, N的公共点. 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)同解法一. (Ⅲ)当a=-1时, 得f(x)=x3-x2-3x. 由f '(x)=x2-2x-3=0, 得x1=-1, x2=3. 由(Ⅱ)得f(x)的单调增区间为(-∞, -1)和(3, +∞), 单调减区间为(-1, 3), 所以函数f(x)在x1=-1, x2=3处取得极值, 故M, N(3, -9). 所以直线MN的方程为y=-x-1. 由得x3-3x2-x+3=0. 解得x1=-1, x2=1, x3=3. 第15页 / 共 50页