曲一线科学备考
则|OM|2|ON|==, (10分)
而+=1, 所以|OM|2|ON|==4, 由切割线定理得|OT|2=|OM|2|ON|=4,
所以|OT|=2, 即线段OT的长度为定值2. (12分)
失分警示: (1) 未能将求解|OT|的问题利用切割线定理转化为求|OM|2|ON|的问题;
(2) 找不准圆G的圆心. 47. (1) 当p=2时, 函数f(x) =2x--2ln x, f(1) =2-2-2ln 1=0. 对函数f(x) 求导得f '(x) =2+-, 由题意知, 曲线f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线的斜率为f '(1) =2+2-2=2. 从而曲线f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线方程为y-0=2(x-1) , 即y=2x-2. (5分)
(2) 由已知得f '(x) =p+-=. 令h(x) =px2-2x+p, 要使f(x) 在定义域(0, +∞) 上
是增函数, 只需h(x) ≥0在(0, +∞) 上恒成立. 由题意p>0, h(x) =px2-2x+p的图象为开口向上的抛物线, 对称轴为x=∈(0, +∞) ,
∴h(x) min=h=p-, 只需p-≥0, 即p≥1,
∴要使f(x) 在定义域(0, +∞) 上是增函数, 只需p≥1.
∴正实数p的取值范围是[1, +∞) . (12分) 48. (1) 由△OMF是等腰直角三角形得b=1, a=b=,
故椭圆方程为+y2=1. (4分)
(2) 假设存在直线l交椭圆于P, Q两点, 且F为△PQM的垂心, 设P(x1, y1) , Q(x2, y2) , 因为M(0, 1) , F(1, 0) , 故kMF=-1, 故直线l的斜率k=1. (7分) 于是设直线l的方程为y=x+m,
由得3x2+4mx+2m2-2=0.
由题意知Δ>0, 即m2<3, 且x1+x2=-, x1x2=. (9分)
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由题意应有2=0, 又=(x1, y1-1) , =(x2-1, y2) ,
故2x1x2+(x1+x2) (m-1) +m2-m=0,
23-m(m-1) +m2-m=0, 解得m=-或m=1.
经检验, 当m=1时, △PQM不存在, 故舍去m=1;
当m=-时, 所求直线y=x-满足题意. 综上, 存在直线l, 且直线l的方程为3x-3y-4=0. (12分) 49. (1) 由已知得f '(x) =1+
-=
=
, x>0. (2分)
当a-1≤0, 即a≤1时, f(x) 在(0, 1) 上递减, 在(1, +∞) 上递增, 无极大值;
当0, 即1时, f(x) 在(0, a-1) 上递增, 在(a-1, 1) 上递减, 在(1, +∞) 上递增, 所以f(x) 在x=a-1处取极大值;
当a-1=1时, 即a=2时, f(x) 在(0, +∞) 上递增, 无极大值; 当a-1>1, 即a>2时, f(x) 在(0, 1) 上递增, 在(1, a-1) 上递减, 在(a-1, +∞) 上递增, 故f(x) 在x=1处取到极大值.
综上所述, 当a≤1或a=2时, f(x) 无极大值; 当1时, f(x) 的极大值点为x=a-1; 当a>2时, f(x) 的极大值点为x=1. (6分)
(2) 在上至少存在一点x0, 使f(x0) >e-1成立,
等价于当x∈
时, f(x) max>e-1.
由(1) 知, ①当a≤1+时,
函数f(x) 在上递减, 在[1, e]上递增,
∴f(x) max=max.
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∴要使f(x) max>e-1成立, 必须使f>e-1成立或f(e) >e-1成立.
由f=-(a-1) e+a>e-1, 解得a<.
由f(e) =e--a>e-1, 解得a<1.
∵<1, ∴a<1. (10分) ②当a≥1+e时, 函数f(x) 在∴f(x) max=f(1) =2-a≤1-e. 上递增, 在[1, e]上递减.
综上所述, 当a<1时, 在
上至少存在一点x0, 使f(x0) >e-1成立. (12分)
失分警示: (1) 在(1) 中忽略讨论a-1=1的情形; (2) 没有将?x0∈点点到定点
, 使得f(x0) >e-1, 转化为f(x) max>e-1. 50.解法一：（Ⅰ）因为动的距离与到定直线的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，方程为
即曲线的方程为．???4分
（Ⅱ）假设是直角三角形，不妨设，
则，则.
设，，，必有，，
则，，
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所以． 又， 则
所以，
所以，
又，，
所以，
所以，
整理得???????????8分
又,
所以.
又，
所以.
所以，
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所以，即．
所以，①
又，
] 所以，
整理得即．② 由①②得，所以．③
设，则有，
则．
所以无解，
所以方程③无解，所以假设不成立，
所以△ABC不可能是直角三角形．???????12分 解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）设，，，由，
得，．
当轴时，，，从而，，
即点的坐标为．
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