6
地分布在大小约10cm的原子中，电子有规律地分布在正
电荷之中。1911年，卢瑟福在研究 ? 粒子与原子碰撞后散射 ? 粒子的角分布时发现，实验中许多 ? 粒子的散射角很大。这个结果无法用汤姆孙模型解释。为了解释 ? 粒子的大角度散射，卢瑟福提出：原子中的正电荷部分集中在小于10cm的一个很小的区域中，原子的质量主要集中在正电荷部分，形成“原子核”。原子中的负电荷部分由电子组成，电子围绕着原子核运动，这种情况与太阳系有点相似。卢瑟福提出的这个模型就是著名的原子的“有核模型”，也称为原子的“行星模型”。
在原子的有核模型中，电子在核外作加速运动。按照经典电磁理论，加速运动的电荷将不断地辐射能量而减速。因此，核外电子最终会丧失所有的能量而掉到原子核中，原子随之崩溃。但在现实世界中，原子却稳定地存在着。经典电磁理论无法对此作出解释。
固体的热容量
固体中每个原子在其平衡位置附近作微振动，可以看成是有三个自由度的粒子。按照经典统计力学，其平均动能与势能均为3kT/2。于是，一摩尔固体物质的平均内能就是
3NAkT?3RT
因此，固体的定容摩尔热容量
?12?8CV?3R?6 cal?mol-1?K-1
实验发现，在极低温下，固体的定容摩尔热容量趋于零。经典统计力学无法解释这个现象。
多原子分子气体的定容摩尔热容量也存在类似的问题。比如N2、O2、H2和CO等双原子分子有5个自由度，按照能量均分定理，这些气体的定容摩尔热容量
CV?5R2?5 cal?mol-1?K-1
但是，实验发现，当温度低于60K时，这些气体的定容摩尔热容量都下降到
CV?3 cal?mol-1?K-1
经典统计力学同样无法解释这个现象。
7
18.2 量子假说
历史上，量子理论首先在黑体辐射问题上得到突破。普朗克找到的黑体辐射公式与实验符合得非常好，这促使他进一步去探索其背后蕴含的更深刻的本质。他发现，如果作下列假设，就可以从理论上导出他的经验公式：对于一定频率v的电磁辐射，物体只能以hv为单位吸收或发射它，h称为普朗克常数。这就意味着吸收或发射电磁辐射只能以“量子”的方式进行，每个“量子”的能量为??h?。量子假说是向不能纳入经典物理学框架的未知世界迈出的第一步。
从经典物理学的角度看，能量不连续的概念完全不符合常识。因此，尽管从这个假说能够导出与实验极为符合的公式，但是，在相当长的时间里，这项工作并未引起普遍重视。
爱因斯坦首先注意到量子假设有可能解决经典物理学所碰到的其它困难。他在1905年用普朗克的量子假说去解决光电效应问题，进一步提出了光量子的概念，认为电磁场由光量子组成，每个光量子的能量和动量与电磁场的频率的关系是：
E?h? , p?h?
通常把这两个公式称为普朗克－爱因斯坦关系。
采用光量子概念后，光电效应的疑难便迎刃而解。当光入射到金属的表面上时，一个光子的能量可能立即被一个电子吸收，但只有当入射光的频率足够大，以致每个光子的能量足够大时，电子才有可能获得足够的能量，从而克服脱出功A而逸出金属表面。电子逸出后的动能为：
Ek?h??A
当入射光的频率
???0?A h时，电子无法克服金属表面的引力而逸出，因此没有光电子发射。
1907年，爱因斯坦进一步将能量不连续的概念应用到固体中原子的振动，解释了温度趋于绝对零度时固体比热趋于零的现象。至此，能量不连续的概念才引起物理学家的普
8
遍重视。
从光的量子假说可以看到，人们对于光的本性的认识是螺旋式上升的。早期，牛顿认为光是由微粒组成的。惠更斯倡议的光的波动说，只是在19世纪20年代经过杨和菲涅耳等人的干涉与衍射实验证实后，才被人们普遍承认。到19世纪下半叶，由于麦克斯韦、赫兹等人的工作，光的波动学说获得全面胜利。但是，光电效应与黑体辐射所揭示的困难又促使人们重新认识光的粒子性。不过，普朗克—爱因斯坦的光量子论决不是牛顿微粒说的简单复归，而是认识上的一个大飞跃。光是粒子性与波动性的统一体。在不同的条件下，光会表现出象“波”或者象“粒子”。
光量子的概念以及普朗克－爱因斯坦关系式在1923年的康普顿散射实验中得到了直接的证实。早在1904年，人们就发现，X射线被轻原子量的物质散射后，波长有变长的现象。康普顿(A H Compton)提出，这是X射线的光子与电子碰撞而产生的现象。如果在微观粒子的碰撞过程中能量与动量是守恒的，由于反冲，电子将带走一部分能量与动量，散射X射线光子的能量与动量就减小，相应的频率变小，波长变长。
在碰撞之前，电子的速度很小，可以看作是静止的。电子在原子中的束缚能相对于X射线光子的能量也很小，可以视为自由电子。假设碰撞过程中能量与动量守恒：
h??me0c2?h???mec2 ????p?p?pe对电子利用相对论中的能量动量关系式：
242224Ee2?mec?pec?me0c
可以将上述能量与动量守恒方程化为：
?h??m2??22224???c?h??p?p??c?mee00c
展开上式，利用光子的动量与波长的关系以及波长与频率的
关系作简单的推导就可以得到：
??????e?1?cos?? 其中
9
?h?e??0.0243A
me0c是电子的康普顿波长。由此可见，散射光的波长随角度增大而增加。理论计算与实验结果完全符合。
康普顿散射实验对光量子概念是一个直接的强有力的支持，它证实了普朗克—爱因斯坦关系在定量上是正确的，并首次证明了在微观的单个碰撞事件中，动量和能量守恒定律仍然成立。
在微观的单个碰撞事件中，动量和能量是否守恒？这个问题在历史上曾经有过激烈的争论。玻尔、克喇末(H A Kramers)和斯莱特(J C Slater)等曾认为，在微观过程中，动量和能量只是统计地守恒，单个事件中并不一定守恒。l924年，博特(W Bothe)和盖革(H Geiger)通过实验否定了这种看法。1925年，康普顿和西蒙(A W Simon)用云室仔细记录光子及反冲电子的径迹，分析结果也否定了玻尔等人的观点。
“在微观的单个碰撞事件中，动量守恒定律和能量守恒定律仍然成立”的结论，在后来发现的“电子正电子对湮没”现象中也得到证实。正电子由安德森(C D Aderson)于1932年在宇宙射线中观测到，安德森因此而获得了诺贝尔物理学奖。
例题：电子对的湮没(annihilation)
1928年，狄拉克在电子的相对论性理论中预言，除质子和电子外，还有一种带正电的粒子，称为正电子(positron)，它是电子的反粒子，其质量与电子相同。1932年，安德森在宇宙线中观测到这种粒子。当一个正电子穿过物质时，会与物质内部的原子发生碰撞而减速，然后有可能被某个原子俘获，最后与一个电子一起湮没。在适当条件下，一个正电子也有可能与一个电子形成类似于氢原子的电子偶素(positronium)，然后才湮没。电子偶素的寿命极短，而氢原子的寿命却很长。这种湮没也发生在其他的粒子和反粒子之间。比如，质子和反质子湮没将放出电子、正电子和中微子，同时还放出电磁辐射。
在电子对湮没时，考虑到动量守恒，至少要产生两个光子：
10
e??e??n?
在两个光子的情况下，它们的动量数值相同，方向相反。设
放出的光子的频率为v，由能量守恒定律可以得到：
2h??2mec2
实验的结果与上述分析完全一致，从而再一次证实了，在微观的单个事件中，动量和能量守恒律仍然成立。此外，电子对湮没还是爱因斯坦关于质能转换这一结论令人信服的例证之一。
18.3 玻尔假说
光量子理论诞生的年代，正逢原子的“有核模型”被提出，经典物理学与原子的稳定性发生尖锐矛盾的时刻。1913年，玻尔把量子概念运用到原子结构问题上，建立了原子的量子理论，提出了两个极为重要的概念：
1．原子具有能量不连续的定态：原子的稳定状态只可能是某些具有一定的分立值能量(E1 , E2 , E3 , ?)的状态。这些能量的数值可以用以下量子化条件确定
L?nh2??n?
2．量子跃迁：原子处于定态时并不辐射。原子能量的任何变化只能在两个定态间以跃迁的形式进行，这时，原子将发射或吸收一个光子，光子的频率为
h?mn?En?Em 这个公式称为频率条件。但是，处于基态的原子不再放出光子而稳定地存在着。量子跃迁概念深刻地反映了微观粒子运动的特征，频率条件揭示了里兹组合原则的实质——光谱项与原子不连续的能量相联系。
现在，我们用玻尔理论来描述氢原子中电子的行为。为了简单起见，假定电子在氢原子中绕核作圆周运动，所需要的向心力由质子与电子之间的库仑力提供：
v2e2 me?2r4??0r运动的轨道角动量为L?mvr。利用量子化条件消去上述等
式中的速率，就可以得到电子作圆周运动的轨道半径为：